Question

如圖①，點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，且OA、OB的長是方程x²-14x+48=0的兩根（OA＞OB），直線BC平分∠ABO，交x軸于點(diǎn)C．P是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）設(shè)△PAB與△OPB的面積分別為S₁、S₂，求S₁：S₂的值；
（2）求直線BC的解析式；
（3）過O點(diǎn)作OE⊥BC，交AB于點(diǎn)E，（如圖②）．若S_△AOP=S_△AEP，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）如圖①，過P點(diǎn)作PD⊥BO，PH⊥AB，垂足分別為D、H，由BC為∠ABO的平分線，可得PH=PD，則可得S₁：S₂=AB：OB，又∵OA、OB的長是方程x²-14x+48=0的兩根（OA＞OB），解方程即可求得OA，OB的長，則可得S₁：S₂的值；
（2）過C點(diǎn)作CK⊥AB，垂足為K，可得OC=CK，由S_△AOB=

1

2

OC（OB+AB）=8OC=24，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即即可得直線BC的解析式；
（3）分別從①當(dāng)O、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，（P在OE與BC交點(diǎn)時(shí)）有S_△AOP=S_△AEP，②當(dāng)PA∥OE時(shí)，有S_△AOP=S_△AEP去分析，利用三角形的面積求解方法，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：
（1）如圖①，過P點(diǎn)作PD⊥BO，PH⊥AB，垂足分別為D、H，
∵BC為∠ABO的平分線，
∴PH=PD，
∴S₁：S₂=AB：OB，
又∵OA、OB的長是方程x²-14x+48=0的兩根（OA＞OB），
解方程得：x₁=8，x₂=6，
∴OA=8，OB=6，
∴AB=10，
∴S₁：S₂=AB：OB=5：3；

（2）過C點(diǎn)作CK⊥AB，垂足為K，
∴OC=CK，
∴S_△AOB=

1

2

OC（OB+AB）=8OC=24，
∴OC=3，
∴C（3，0），
∴y=-2x+6；

（3）①當(dāng)O、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，（P在OE與BC交點(diǎn)時(shí)）有S_△AOP=S_△AEP，
過E點(diǎn)作EG⊥OA，垂足為G，
∵OE⊥BC，BC平分∠ABO，
∴P是OE的中點(diǎn)，
∴PF是△OEG的中位線，
∵△AGE∽△AOB，
∴

EG

BO

=

EA

AB

=

2

5

，
∴EG=

12

5

，y_P=

6

5

，
把y_P=

6

5

，代入y=-2x+6中，求得x_P=

12

5

，
∴P₁（

12

5

，

6

5

）；
②當(dāng)PA∥OE時(shí)，有S_△AOP=S_△AEP，
∴P₂（4，-2）．
或用代數(shù)方法：設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)勾股定理求出y=

12

5

，yp=

6

5

，
再將yp=|

6

5

|代入y=-2x+6，同樣求出P₁（

12

5

，

6

5

）、P₂（4，-2）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)的知識(shí)，三角形面積的求解方法等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．