Question

【題目】閱讀理解：如圖①，如果四邊形ABCD滿足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我們把這樣的四邊形叫做“完美箏形”．
將一張如圖①所示的“完美箏形”紙片ABCD先折疊成如圖②所示形狀，再展開(kāi)得到圖③，其中CE，CF為折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，點(diǎn)B′為點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)D′為點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接EB′，F(xiàn)D′相交于點(diǎn)O．

（1）在平行四邊形、矩形、菱形、正方形四種圖形中，一定為“完美箏形”的是
（2）當(dāng)圖③中的∠BCD=120°時(shí)，∠AEB′=
（3）當(dāng)圖②中的四邊形AECF為菱形時(shí)，對(duì)應(yīng)圖③中的“完美箏形”有　 個(gè)（包含四邊形ABCD）．
（4）拓展提升：當(dāng)圖③中的∠BCD=90°時(shí)，連接AB′，請(qǐng)?zhí)角蟆螦B′E的度數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）正方形
（2）80°
（3）5
（4）

當(dāng)圖③中的∠BCD=90°時(shí)，如圖所示：

四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=90°，

∵∠EB′F=90°，

∴∠A+∠EB′F=180°，

∴A、E、B′、F四點(diǎn)共圓，

∵AE=AF，

∴∠AB′E=∠AB′F=∠EB′F=45°．

【解析】（1）①∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，
∴AB≠AD，BC≠CD，
∴平行四邊形不一定為“完美箏形”；
②∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，
∴AB≠AD，BC≠CD，
∴矩形不一定為“完美箏形”；
③∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，
∴菱形不一定為“完美箏形”；
④∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∴正方形一定為“完美箏形”；
∴在平行四邊形、矩形、菱形、正方形四種圖形中，一定為“完美箏形”的是正方形；
所以答案是：正方形；
（2）根據(jù)題意得：∠B′=∠B=90°，
∴在四邊形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′=180°，
∵∠AEB′+∠BEB′=180°，
∴∠AEB′=∠BCB′，
∵∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠BCD=120°，
∴∠BCE=∠ECF=40°，
∴∠AEB′=∠BCB′=40°+40°=80°；
所以答案是：80；
（3）當(dāng)圖②中的四邊形AECF為菱形時(shí)，對(duì)應(yīng)圖③中的“完美箏形”有5個(gè)；理由如下；
根據(jù)題意得：BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，F(xiàn)D=FD′，∠D=∠CD′F=90°，
∴四邊形EBCB′、四邊形FDCD′是“完美箏形”；
∵四邊形ABCD是“完美箏形”，
∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，
∴CD′=CB′，∠CD′O=∠CB′O=90°，
∴∠OD′E=∠OB′F=90°，
∵四邊形AECF為菱形，
∴AE=AF，CE=CF，AE∥CF，AF∥CE，
∴D′E=B′F，∠AEB′=∠CB′E=90°，∠AFD′=∠CD′F=90°
在△OED′和△OFB′中，

∴△OED′≌△OFB′（AAS），
∴OD′=OB′，OE=OF，
∴四邊形CD′OB′、四邊形AEOF是“完美箏形”；
∴包含四邊形ABCD，對(duì)應(yīng)圖③中的“完美箏形”有5個(gè)；
所以答案是：5
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．