Question

小明在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱(chēng)的時(shí)候，老師留了這樣一道思考題：如圖，已知在直線(xiàn)l的同側(cè)有A、B兩點(diǎn)，請(qǐng)你在直線(xiàn)l上確定一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小．小明通過(guò)獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問(wèn)題的正確方法，他的作法是這樣的：
①作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′．
②連接A′B，交直線(xiàn)l于點(diǎn)P．則點(diǎn)P為所求．請(qǐng)你參考小明的作法解決下列問(wèn)題：
（1）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，BC=6，BC邊上的高為4，請(qǐng)你在BC邊上確定一點(diǎn)P，使得△PDE的周長(zhǎng)最小．
①在圖1中作出點(diǎn)P．（三角板、刻度尺作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
②請(qǐng)直接寫(xiě)出△PDE周長(zhǎng)的最小值______．
（2）如圖2在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G為邊AD的中點(diǎn)，若E、F為邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)，且EF=1，當(dāng)四邊形CGEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)你在圖2中確定點(diǎn)E、F的位置．（三角板、刻度尺作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法），并直接寫(xiě)出四邊形CGEF周長(zhǎng)的最小值______．

Answer 1

解：（1）①如圖1所示：
②∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，BC=6，
∴DE=3，
∵BC邊上的高為4，
∴DD′=4，
∵DD′⊥BC，DE∥BC，
∴DD′⊥DE，
∴ED′==5，
C_△PDE=D′E+DE=5+3=8；
故答案為：8；

（2）如圖2，作G關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，
在CD上截取CH=1，然后連接HM交AB于E，
接著在EB上截取EF=1，
那么E、F兩點(diǎn)即可滿(mǎn)足使四邊形CGEF的周長(zhǎng)最小．
∵AB=4，BC=6，G為邊AD的中點(diǎn)，
∴DG=AG=AM=3，
∵AE∥DH，
∴=，
∴=，
=，
故AE=1，
∴GE==，
BF=2，CF===2，
CG==5，
∴C_{四邊形GEFC}=GE+EF+FC+CG=6+3．
故答案為：6+3．
分析：（1）①利用軸對(duì)稱(chēng)作出D點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接D′E即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，
②要求△PDE周長(zhǎng)的最小值求出DP+PE的最小值即可，利用已知由勾股定理求出即可；
（2）利用已知可以得出GC，EF長(zhǎng)度不變，求出GE+CF最小時(shí)即可得出四邊形CGEF周長(zhǎng)的最小值，利用軸對(duì)稱(chēng)得出E，F(xiàn)位置，即可求出．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用軸對(duì)稱(chēng)求最短路徑問(wèn)題以及勾股定理等知識(shí)，利用GE+CF最小時(shí)即可得出四邊形CGEF周長(zhǎng)的最小值得出E，F(xiàn)位置是解題關(guān)鍵．