Question

如圖①，矩形ABCD的兩條邊在坐標(biāo)軸上，點D與原點重合，對角線BD所在直線與y軸的夾角為60°，AB=8．矩形ABCD沿DB方向以每秒1個單位長度運動，同時點P從點A出發(fā)沿矩形ABCD的邊以每秒1個單位長度做勻速運動，經(jīng)過點B到達(dá)點C，設(shè)運動時間為t．
（1）求出矩形ABCD的邊長BC；
（2）如圖②，圖形運動到第6秒時，求點P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點P在線段BC上運動時，過點P作x軸，y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則矩形PEOF是否能與矩形ABCD相似？若能，求出t的值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△DBC中，由于∠BDC=60°，CD=AB=8，利用三角函數(shù)知識即可求出BC的長度；
（2）當(dāng)圖形運動到第6秒時，此時點P在AB上，由此得到OD=6，AP=6，由∠BDC=60°得到∠BDA=30°，平移過程中∠BDA保持不變，所以利用三角函數(shù)的定義可以求出D點坐標(biāo)，接著可以求出A的坐標(biāo)，也就求出P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點P在BC邊運動時，即8≤t≤8+8

3

，已知條件可以求出點D和C的坐標(biāo)，接著求出P的坐標(biāo)，再用t分別表示PE、PF，最后根據(jù)矩形相似的對應(yīng)邊成比例即可求出t的值．

解答：解：（1）在Rt△DBC中，∵∠BDC=60°，CD=AB=8
∴BC=CD•tan60°=8

3

；

（2）當(dāng)圖形運動到第6秒時，
此時點P在AB上，OD=6，AP=6，
而∠BDA=30°，
∴D點坐標(biāo)為(3

3

，3)，
∴點A坐標(biāo)為(11

3

，3)，
∴點P的坐標(biāo)為(11

3

，9)；

（3）當(dāng)點P在BC邊運動時，即8≤t≤8+8

3

，
而DO=t，∠BOA=30°，
∴點D的坐標(biāo)為(

3

2

t，

1

2

t)，點C的坐標(biāo)為(

3

2

t，

1

2

t+8)
∴點P的坐標(biāo)為(8+8

3

-t+

3

2

t，

1

2

t+8)，
即PF=8+8

3

-t+

3

2

t，PE=

1

2

t+8，
若矩形PEOF與矩形ABCD相似，
①若

PE

OE

=

BA

DA

，
∴

1 2 t+8

8+8 3 -t+ 3 2 t

=

8

8 3

，
解得t=8，
②若

PE

OE

=

DA

BA

，
則

1 2 t+8

8+8 3 -t+ 3 2 t

=

8 3

8

，
解得t=

16+8 3

3 -1

．
因為t=

16+8 3

3 -1

＞8+8

3

，此時點P不在BC邊上，舍去．
因此當(dāng)t=8時，點P到達(dá)點B，矩形PEOF與矩形BADC相似．

點評：此題比較復(fù)雜，綜合性比較強(qiáng)，把一次函數(shù)、平移、矩形及四邊形相似、三角函數(shù)等多個知識結(jié)合在一起，解題一定要循序漸進(jìn)，不急于求成，不過計算過程也比較多，對于學(xué)生的各方面的要求比較高．