Question

已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．

（1）在圖1中，∠ABC＝∠ADC＝90°，則能得如下兩個結論：

① DC = BC； ②AD+AB=AC．請你證明結論②；

（2）在圖2中，若條件改為∠ABC＋∠ADC＝180°，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

 

Answer 1

（1）證明：∵∠MAN＝120°，AC平分∠MAN

          ∴∠MAC=∠NAC=60°   ∠ACD=30°

          又∵∠ABC＝∠ADC＝90°  AC=AC

          ∴⊿ACD≌⊿ACB （AAS）

      ∴ AD=AB=AC   ∴AD+AB=AC

（2） 仍然成立   …1分

     過C作CE⊥AM于E，作CF⊥AB于F 

     由（1）的證明結論，得到：

CE=CF   AE+AF=AC              …2分

∵∠ABC＋∠ADC＝180°    ∠ADC＋∠1＝180°

∴∠1=∠ABC                     …3分

又∵∠ABC＋∠ADC＝180°   ∠MAN＝120°

∴ ∠DCB=60°               

又∵∠AEC＝∠AFC＝90°   ∠MAN＝120°

∴∠ECF=60°     ∴∠ECF=∠DCB=60°   …5分

∴∠2=∠3    又∵∠AEC＝∠BFC＝90°   CE=CF

∴⊿CED≌⊿CFB （ASA）            

∴DE=BF  CD=CB

∴AD+AB=AD+BF+AF=AD+DE+AF=AE+AF=AC   …8分