Question

某課外興趣小組在一次折紙活動(dòng)中，折疊一張帶有條格的長(zhǎng)方形紙片ABCD（如圖1），將點(diǎn)B分別與點(diǎn)A，A₁，A₂，…，D重合，然后用筆分別描出每條折痕與對(duì)應(yīng)條格所在直線的交點(diǎn)，用平滑的曲線順次連接各交點(diǎn)，得到一條曲線．
探索
如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將長(zhǎng)方形紙片ABCD的頂點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，BC邊放在x軸的正半軸上，AB=m，AD=n（m≤n），將紙片折疊，MN是折痕，使點(diǎn)B落在邊AD上的E處，過點(diǎn)E作EQ⊥BC，垂足為Q，交直線MN于點(diǎn)P，連接OP
（1）求證：四邊形OMEP是菱形；
（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．（用含m、n的式子表示）
運(yùn)用
（3）將長(zhǎng)方形紙片ABCD如圖3所示放置，AB=8，AD=12，將紙片折疊，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，折痕與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．試問在這條折疊曲線上是否存在K，使得△KCF的面積是△KOC面積的，若存在，寫出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB∥EQ，
∴∠OMP=∠EPM，
∵∠EPM=∠OPM，
∴∠OMP=∠OPM，
∴OM=OP，
∵OM=EM，OP=EP，
∴四邊形OMEP是菱形．

（2）∵E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，m），
OP=EP=m-y，
∴（m-y）²=x²+y²．
y=-+（0＜x＜）．

（3）根據(jù)（2）知，點(diǎn)K的坐標(biāo)為（x，-+4）．
設(shè)EC的長(zhǎng)為x，DE=BE=12-x，DC=8，
x²+8²=（12-x）²
x=．
同理：GH=，DH=，
△ECF∽△DHF，
∴=，
即=，
解得CF=5，
∴△ECF的面積為：CE•CF=××5=．
△OCK的面積為：×12（-+4）．
△KCF的面積：×（-+4）+．
根據(jù)△KCF的面積是△KOC面積得，××12（-+4）=×（-+4）+，
可求出x=4，
所以K的坐標(biāo)為：（4，1）．
分析：（1）如果四邊形的四邊相等，那么這個(gè)四邊形是菱形．
（2）根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)，可表示出E點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可知道OP的長(zhǎng)，用勾股定理表示出解析式．
（3）畫出圖形，從圖上可看出不存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的面積比等于相似比的平方以及翻折變換的知識(shí)．