(2002•湛江)已知以x為自變量的二次函數(shù)y=x2-(2m-2)x+(m2-m-2)的圖象經(jīng)過原點O,并與x軸相交于點M,且M在原點的右邊.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點M,與這個二次函數(shù)的圖象交于點N,且△OMN的面積等于3,求這個一次函數(shù)的解析式.
【答案】
分析:(1)已知函數(shù)圖象經(jīng)過原點,可將原點坐標代入拋物線的解析式中,可求得m的值,然后根據(jù)函數(shù)與x軸的另一交點在原點右邊,可將不合題意的m的值舍去.
(2)可根據(jù)三角形OMN的面積求得N點的縱坐標的絕對值,然后將其代入拋物線的解析式中即可求得N點的坐標,根據(jù)M、N兩點的坐標即可求出直線的解析式.
解答:解:(1)∵二次函數(shù)y=x
2-(2m-2)x+(m
2-m-2)的圖象經(jīng)過原點O,
∴m
2-m-2=0,解得m=-1,m=2.
當m=-1時,二次函數(shù)的解析式為y=x
2+4x,它的圖象經(jīng)過原點,并與x軸相交于原點左邊的點(-4,0),(不合題意,舍去);
當m=2時,二次函數(shù)的解析式為y=x
2-2x,它的圖象經(jīng)過原點,并與x軸相交于原點右邊的點(2,0),符合題意,所以所求的二次函數(shù)的解析式為y=x
2-2x.
(2)由(1)中二次函數(shù)y=x
2-2x,它的圖象經(jīng)過原點,且與x軸相交于點M(2,0),
設(shè)點N的坐標為(x,y),則S
△OMN=
×2×|y|=3,
∴|y|=3,
∵二次函數(shù)y=x
2-2x的圖形是開口向上,頂點為(1,-1)的拋物線;
∴拋物線上沒有縱坐標為-3的點,
∴y=3,
當y=3時,x
2-2x=3,解得x=3,x=-1.
則點N
1(3,3),N
2(-1,3).
當函數(shù)y=kx+b的圖形經(jīng)過點M(2,0),N
1(3,3)時,則:
,
解得
;
∴所求一次函數(shù)的解析式為y=3x-6.
當函數(shù)y=kx+b的圖形經(jīng)過點M(2,0),N
2(-1,3)時,則:
,
解得
,
∴所求一次函數(shù)的解析式為y=-x+2.
點評:本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)圖象上點的坐標特點.