Question

（2011•延平區(qū)質(zhì)檢）如圖，菱形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，CA=8，DB=4，點(diǎn)E在AB上，過O作OF⊥OE于O，OF=

1

2

OE，連接FB．
（1）求證：∠AEO=∠BFO
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)寫出一個(gè)反映BE²，BF²，EF²之間關(guān)系的等式，并說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖，此時(shí)（2）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得AC⊥BD，OA=4，OB=2，則∠AOB=90°，而∠EOF=90°，利用等角的余角相等得到∠AOE=∠BOF，又OA：OB=OE：OF=2：1，根據(jù)三角形相似的判定得到△OAE∽△OBF，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）由（1）中△OAE∽△OBF得∠OAE=∠OBF，而∠OAE+∠ABO=90°，則∠ABO+∠OBF=90°，即△BEF為直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得到BE²+BF²=EF²；
（3）同（1）一樣可證得△OAE∽△OBF，再與（2）證明方法一樣可得到BE²+BF²=EF²．

解答：解：（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，CA=8，DB=4，
∴AC⊥BD，OA=4，OB=2，
∴∠AOB=90°，
而OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
又∵OF=

1

2

OE，
∴OA：OB=OE：OF=2：1，
∴△OAE∽△OBF，
∴∠AEO=∠BFO；

（2）BE²+BF²=EF²．理由如下：
由（1）中△OAE∽△OBF，
∴∠OAE=∠OBF，
∴∠ABO+∠OBF=90°，
∴△BEF為直角三角形，
∴BE²+BF²=EF²；

（3）BE²+BF²=EF²依然成立．理由如下：
∵四邊形ABCD為菱形，CA=8，DB=4，
∴AC⊥BD，OA=4，OB=2，
而OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
又∵OF=

1

2

OE，
∴OA：OB=OE：OF=2：1，
∴△OAE∽△OBF，
∴∠OAE=∠OBF，
∴△BEF為直角三角形，
∴BE²+BF²=EF²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形的對(duì)邊分別平行，四條邊都相等，兩條對(duì)角線互相垂直平分，并且分別平分兩組內(nèi)角．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．