Question

【題目】如圖1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE，BG．

（1）求證：AE=BG
（2）將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤360°）如圖2所示，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果仍成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；
（3）若BC=DE=4，當旋轉(zhuǎn)角α為多少度時，AE取得最大值？直接寫出AE取得最大值時α的度數(shù)，并利用備用圖畫出這時的正方形DEFG，最后求出這時AF的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∴∠ADB=∠ADC=90°，AD=DC=DB，

∵四邊形DEFG是正方形，

∴DE=DG，

∴△ADE≌△BDG（SAS），

∴BG=AE；

（2）

解：成立；

理由如下：如圖2，連接AD，

由（1）知AD=BD，AD⊥BC．

∴∠ADG+∠GDB=90°．

∵四邊形EFGD為正方形，

∴DE=DG，且∠GDE=90°．

∴∠ADG+∠ADE=90°

∴∠BDG=∠ADE．

在△BDG和△ADE中，

∵BD=AD，∠BDG=∠ADE，GD=ED，

∴△BDG≌△ADE（SAS）

∴AE=BG；

（3）

解：α=270°；

正方形DEFG如圖3所示

由（2）知BG=AE

∴當BG取得最大值時，AE取得最大值．

∵BC=DE=4，

∴EF=4，

∴BG=2+4=6

∴AE=6

在Rt△AEF中，由勾股定理，得

AF= = =2 ．

【解析】（1）在Rt△BDG與Rt△EDA；根據(jù)邊角邊定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；（2）連接AD，根據(jù)直角三角形與正方形的性質(zhì)可得Rt△BDG≌Rt△EDA；進而可得BG=AE；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，求BG的最大值，分析可得此時F的位置，由勾股定理可得答案．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰直角三角形和勾股定理的概念的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．