Question

我們知道，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線的解析式可以是y=ax²+bx（a≠0）
（1）對(duì)于這樣的拋物線：
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，a=______；
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），m≠0時(shí)，a與m之間的關(guān)系式是______
（2）繼續(xù)探究，如果b≠0，且過(guò)原點(diǎn)的拋物線頂點(diǎn)在直線y=kx（k≠0）上，請(qǐng)用含k的代數(shù)式表示b；
（3）現(xiàn)有一組過(guò)原點(diǎn)的拋物線，頂點(diǎn)A₁，A₂，…，A_n在直線y=x上，橫坐標(biāo)依次為1，2，…，n（為正整數(shù)，且n≤12），分別過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)作x軸的垂線，垂足記為B₁，B₂，…，B_n，以線段A_nB_n為邊向右作正方形A_nB_nC_nD_n，若這組拋物線中有一條經(jīng)過(guò)D_n，求所有滿(mǎn)足條件的正方形邊長(zhǎng)．

Answer 1

（1）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
∴

- b 2a =1 -b2 4a =1

，
解得，

a=-1 b=2

，
即當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，a=-1；
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），m≠0時(shí)，

- b 2a =m -b2 4a =m

，
解得，

a=- 1 m b=2

則a與m之間的關(guān)系式是：a=-

1

m

或am+1=0．
故答案是：-1；a=-

1

m

或am+1=0．

（2）∵a≠0，
∴y=ax²+bx=a（x+

b

2a

）²-

b2

4a

，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

b

2a

，-

b2

4a

）．
又∵該頂點(diǎn)在直線y=kx（k≠0）上，
∴k（-

b

2a

）=-

b2

4a

．
∵b≠0，
∴b=2k；

（3）∵頂點(diǎn)A₁，A₂，…，A_n在直線y=x上，
∴可設(shè)A_n（n，n），點(diǎn)D_n所在的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t）．
由（1）（2）可得，點(diǎn)D_n所在的拋物線解析式為y=-

1

t

x²+2x．
∵四邊形A_nB_nC_nD_n是正方形，
∴點(diǎn)D_n的坐標(biāo)是（2n，n），
∴-

1

t

（2n）²+2•2n=n，
∴4n=3t．
∵t、n是正整數(shù)，且t≤12，n≤12，
∴n=3，6或9．
∴滿(mǎn)足條件的正方形邊長(zhǎng)是3，6或9．