Question

【題目】探究與發(fā)現(xiàn)：RtΔABC中，∠C=90°，點(diǎn)D、E分別是ΔABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn).令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠.

（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠=50°，則∠1+∠2=___________；

（2）若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則∠、∠1、∠2之間有何關(guān)系？

（3）若點(diǎn)P在Rt△ABC斜邊BA的延長線上運(yùn)動(dòng)（CE＜CD），則∠、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+∠α；（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）連接PC，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，再表示出∠1+∠2即可；

（2）方法與（1）相同；

（3）根據(jù)點(diǎn)P的位置，分D、E、P三點(diǎn)共線前、后和三點(diǎn)共線時(shí)三種情況，利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和討論求解．

試題解析：（1）如圖，連接PC，

由三角形的外角性質(zhì)，∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，

∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，

∵∠DPE=∠α=50°，∠C=90°，

∴∠1+∠2=50°+90°=140°，

（2）連接PC，

由三角形的外角性質(zhì)，∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，

∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，

∵∠C=90°，∠DPE=∠α，

∴∠1+∠2=90°+∠α；

（3）如圖1，由三角形的外角性質(zhì)，∠2=∠C+∠1+∠α，

∴∠2-∠1=90°+∠α；

如圖2，∠α=0°，∠2=∠1+90°；

如圖3，∠2=∠1-∠α+∠C，

∴∠1-∠2=∠α-90°．