Question

（2010•蕪湖）蕪湖國(guó)際動(dòng)漫節(jié)期間，小明進(jìn)行了富有創(chuàng)意的形象設(shè)計(jì)．如圖1，他在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)作等邊三角形BCE，并與正方形的對(duì)角線交于F、G點(diǎn)，制成如圖2的圖標(biāo)．則圖標(biāo)中陰影部分圖形AFEGD的面積=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)等邊三角形與正方形的性質(zhì)，求出∠EBO，再在直角三角形BOF中利用角的正切求出邊OF，從而得知S_△BOF，S_△BAF=S_△BAO-S_△BOF；同理求得S_△CGD，所以圖標(biāo)中陰影部分圖形AFEGD的面積就是：S_□ABCD-S_△CBE-S_△BAF-S_△CGD
解答：解：方法1：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，
∵AC、BD是正方形的對(duì)角線，
∴AC⊥BD，OA=OB，
在△BCE中，∠EBC=60°，∠OBC=45°，
∴∠EBO=60°-45°，
∴FO=tan（60°-45°）•OB，
∴S_△BOF=OF•OB=tan（60°-45°）•OB²，
∴S_△BAF=S_△BAO-S_△BOF=-tan（60°-45°）•OB²=-tan（60°-45°）•OB²=OB²，
同理，得S_△CGD=OB²，
∵S_△CBE=sin60°=sin60°=AB²，
∴S_□ABCD-S_△CBE-S_△BAF-S_△CGD=AB²-AB²-OB²，
∵OB=BD，BD²=AB²+AD²，AB=AD=1，
∴S_□ABCD-S_△CBE-S_△BAF-S_△CGD=1--（××（1+1）=，
圖標(biāo)中陰影部分圖形AFEGD的面積=．

方法2：過G作GH⊥CD于H，
則易得△GDH是等腰直角三角形，設(shè)DH=GH=x，
∵△BEC是等邊三角形，
∴∠BCE=60°，
∴∠ECD=90°-60°=30°，
∴CH=x，
∵CD=DH+CH=1，
即x+x=1，
x（1+）=1，
解得x===，
∴S_△CGD=×1×=
同理S_△BFA=
易得S_△BCE=
∴S_陰影=S_{正方形ABCD}-S_△BCE-S_△BAF-S_△CGD
=1---
=．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：解答本題的難點(diǎn)是求直角三角形ABO中的三角形ABF的面積，在突破難點(diǎn)時(shí)，充分利用了等邊三角形、正方形的性質(zhì)以及直角三角形中的邊角函數(shù)關(guān)系．