【題目】已知:如圖1,等邊OAB的邊長(zhǎng)為3,另一等腰OCAOAB有公共邊OA,且OC=AC,C=120°.現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從B、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度沿BO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng).請(qǐng)回答下列問題:

(1)在運(yùn)動(dòng)過程中,OPQ的面積記為S,請(qǐng)用含有時(shí)間t的式子表示S.

(2)在等邊OAB的邊上(點(diǎn)A除外),是否存在點(diǎn)D,使得OCD為等腰三角形?如果存在,這樣的點(diǎn)D共有 個(gè).

(3)如圖2,現(xiàn)有MCN=60°,其兩邊分別與OB、AB交于點(diǎn)M、N,連接MN.將MCN繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),使得M、N始終在邊OB和邊AB上.試判斷在這一過程中,BMN的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化?若沒有變化,請(qǐng)求出其周長(zhǎng);若發(fā)生變化,請(qǐng)說明理由.

【答案】1S=﹣t2+t;24;(3)BMN的周長(zhǎng)不發(fā)生變化,理由見解析

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)題意分別表示出QO,OP的長(zhǎng),進(jìn)而得出S與t的關(guān)系式;

(2)如果OCD為等腰三角形,那么分D在OA邊或者OB邊上或AB邊上三種情形.每一種情形,都有可能O為頂點(diǎn),C為頂點(diǎn),D為頂點(diǎn),分別討論,得出答案;

(3)如果延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F,使AF=OM,連接CF,則由SAS可證MOC≌△FAC,得出MC=CF,再由SAS證出MCN≌△FCN,得出MN=NF,進(jìn)而求出BMN的周長(zhǎng).

解:(1)如圖1,OC=AC,ACO=120°,

∴∠AOC=OAC=30°

∴∠POQ=90°,

OQ=t,OP=3﹣3t.

SOPQ=OQ×OP=t×(3﹣3t)=﹣t2+t,

即S=﹣t2+t;

(2)如圖2,(i)當(dāng)D點(diǎn)在OA上,

①以D為頂點(diǎn),D1C=OD1,

②以O(shè)為頂點(diǎn),OD2=OC,

(ii)當(dāng)D點(diǎn)在OB上,

由于BOC=90°,因此不存在以C或D為頂點(diǎn)的等腰三角形,

以O(shè)為頂點(diǎn)時(shí),OD3=OC.

(iii)當(dāng)D點(diǎn)在AB上時(shí),

此時(shí)OD的最短距離為ODAB時(shí),此時(shí)OD≠OC,不存在以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰三角形;

當(dāng)以C為頂點(diǎn)時(shí),D點(diǎn)和A點(diǎn)重合,

當(dāng)以D為頂點(diǎn)時(shí),OD4=CD4

綜上所述,這樣的點(diǎn)D共有4個(gè);

故答案為:4;

(3)BMN的周長(zhǎng)不發(fā)生變化.理由如下:

延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F,使AF=OM,連接CF.(如圖3)

∵∠MOC=FAC=90°,OC=AC,

MOCFAC

∴△MOC≌△FAC(SAS),

MC=CF,MCO=FCA

∴∠FCN=FCA+NCA=MCO+NCA=OCAMCN=60°

∴∠FCN=MCN

MCNFCN中,

∴△MCN≌△FCN(SAS),

MN=NF

BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO﹣OM+BA+AF=BA+BO=6.

∴△BMN的周長(zhǎng)不變,其周長(zhǎng)為6.

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