Question

【題目】已知如圖，D是△ABC中AB邊上的中點，△ACE和△BCF分別是以AC、BC為斜邊的等腰直角三角形，連接DE、DF．

求證：DE=DF．

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】

分別取AC、BC中點M、N，連接MD、ND，再連接EM、FN，利用在直角三角形中：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和已知條件證明四邊形MDNC為平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證明△EMD≌△DNF即可．

證明：分別取AC、BC中點M、N，連接MD、ND，再連接EM、FN，

∵D為AB中點，∠AEC=90°，∠BFC=90°，

∴EM=AC，FN=BC，

∵D是△ABC中AB邊上的中點，

∴DN是△ABC的中位線．

∴DN=AC，

∴EM=DN=AC，FN=MD=BC，

∵DN∥CM且DN=CM，

∴四邊形MDNC為平行四邊形，

∴∠CMD=∠CND．

∵∠EMC=∠FNC=90°，

∴∠EMC+∠CMD=∠FNC+∠CND，

即∠EMD=∠FND，

∴△EMD≌△DNF(SAS)．

∴DE=DF．