Question

【題目】如圖1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是線段CA延長線上一點(diǎn)，且AD=AB．點(diǎn)F是線段AB上一點(diǎn)，連接DF，以DF為斜邊作等腰Rt△DFE，連接EA，EA滿足條件EA⊥AB．

（1）若∠AEF=20°，∠ADE=50°，AC=2，求AB的長度；

（2）求證：AE=AF+BC；

（3）如圖2，點(diǎn)F是線段BA延長線上一點(diǎn)，探究AE、AF、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）AE+AF=BC，證明見解析

【解析】

試題分析：（1）在等腰直角三角形DEF中，∠DEF=90°，求得∠1=20°，根據(jù)余角的定義得到∠2=∠DEF﹣∠1=70°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠3=60°，∠4=30°根據(jù)三角函數(shù)的定義得到cos∠4=，于是得到結(jié)論；

（2）如圖1，過D作DM⊥AE于D，在△DEM中，由余角的定義得到∠2+∠5=90°，由于∠2+∠1=90°，推出∠1=∠5證得△DEM≌△EFA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=EM，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和余角的定義得到∠3=∠B，推出△DAM≌△ABC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=AM即可得到結(jié)論；

（3）如圖2，過D作DM⊥AE交AE的延長線于M根據(jù)余角的定義和三角形的內(nèi)角和得到∠2=∠B，證得△ADM≌△BAC，由全等三角形的性質(zhì)得到BC=AM，由于EF=DE，∠DEF=90°，推出∠4=∠5，證得△MED≌△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ME=AF，即可得到結(jié)論．

解：（1）在等腰直角三角形DEF中，∠DEF=90°，

∵∠1=20°，

∴∠2=∠DEF﹣∠1=70°，

∵∠EDA+∠2+∠3=180°，

∴∠3=60°，

∵EA⊥AB，

∴∠EAB=90°，

∵∠3+∠EAB+∠A=180°，

∴∠4=30°，

∵∠C=90°，

∴cos∠4=，

∴AB===；

（2）如圖1，過D作DM⊥AE于D，在△DEM中，∠2+∠5=90°，

∵∠2+∠1=90°，

∴∠1=∠5，

∵DE=FE，

在△DEM與△EFA中，

，

∴△DEM≌△EFA，

∴AF=EM，

∵∠4+∠B=90°，

∵∠3+∠EAB+∠4=180°，

∴∠3+∠4=90°，

∴∠3=∠B，

在△DAM與△ABC中，

，

∴△DAM≌△ABC，

∴BC=AM，

∴AE=EM+AM=AF+BC；

（3）如圖2，過D作DM⊥AE交AE的延長線于M，

∵∠C=90°，

∴∠1+∠B=90°，

∵∠2+∠MAB+∠1=180°，∠MAB=90°，

∴∠2+∠1=90°，∠2=∠B，

在△ADM與△BAC中，

，

∴△ADM≌△BAC，

∴BC=AM，

∵EF=DE，∠DEF=90°，

∵∠3+∠DEF+∠4=180°，

∴∠3+∠4=90°，

∵∠3+∠5=90°，

∴∠4=∠5，

在△MED與△AFE中，

，

∴△MED≌△AFE，

∴ME=AF，

∴AE+AF=AE+ME=AM=BC，

即AE+AF=BC．