Question

（2002•濱州）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)P（3，0）為圓心，以6為半徑的圓與y軸的正半軸相交于點(diǎn)C，與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)．
（1）試確定經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；
（2）在BC上確定一點(diǎn)D，使BD：CD=AB：AC，并給出證明；
（3）設(shè)AD交y軸于E，過(guò)E作EF∥AB，交BC于F．求證：2EF=AB；
（4）延長(zhǎng)AD交⊙P于點(diǎn)G，求證：△CDG≌△EDF．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了圓的半徑和圓心的坐標(biāo)即可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，AB為直徑則∠ACB=90°，根據(jù)射影定理可求出OC的長(zhǎng)，然后根據(jù)A、B、C的坐標(biāo)用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式．
（2）由（1）中A、C、B三點(diǎn)坐標(biāo)不難得出∠ACB=60°，∠ABC=30°，如果作∠CAB的角平分線(xiàn)，那么D就是∠CAB的角平分線(xiàn)與BC的交點(diǎn)．此時(shí)∠BAD=∠ABD=30°，AD=BD，而根據(jù)相似安吉縣ACD和BCA可得出AD：AB=CD：AC，將相等的線(xiàn)段進(jìn)行置換即可得出本題所求的結(jié)論．
（3）在直角三角形EOA中，根據(jù)∠EAO=30°以及OA的長(zhǎng)，可求出AE的長(zhǎng)，根據(jù)（2）的結(jié)果和BC的長(zhǎng)不難求出BD即AD的長(zhǎng)，可發(fā)現(xiàn)AE=DE，過(guò)E作EF∥AB，那么EF就是△ABD的中位線(xiàn)，因此EF=AB．
（4）由于∠ECD=∠CED=∠AEO=60°，因此△CED是等邊三角形，CD=DE，由此就不難的得出兩三角形全等了．
解答：（1）解：易求得A（-3，0）、B（9，0）、C（0，3）．
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+c，則有：

解得：
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x²+x+3．

（2）解：由題可得：∠CAB=60°，∠ABC=30°
作∠CAB的平分線(xiàn)AD交OC于E，交BC于D，D點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，
易證：AD=BD，△ACD∽△BCA
∴CD：AD=AC：AB
即BD：CD=AB：AC

（3）證明：由題可得：AE=2，AD=4
∴E為AD的中點(diǎn)
∵EF∥AB
∴EF是△ABD的中位線(xiàn)
∴2EF=AB．

（4）證明：由題可得：∠ECD=∠CED
∴CD=ED，∠DCG=∠DEF，∠CDG=∠EDF
∴△CDG≌△EDF．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、中位線(xiàn)定理等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．