Question

如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，E、F、G分別是邊AB、BC、CD的中點(diǎn)．已知長(zhǎng)方形ABCD的面積是40cm²．則四邊形MFNP的面積是

 

cm²．

Answer 1

分析：由于四邊形ABCD是矩形，那么AB=CD，AB∥CD，而易求AE=DG，易證△PDG≌△PEA，從而可知P是DE、AG中點(diǎn)，利用梯形中位線(xiàn)定理可知QF∥AB∥CD，并易證明四邊形ABFG、FCDG是矩形，而利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的推論，易求QP=

1

4

AB，從而有PF=

3

4

AB，再利用QF∥AB，可得△AEM∽△FPM，那么AM：MF=AE：PF=3：2，同理DN：NF=3：2，易證MN∥
AD，且MN⊥QF，利用S_{四邊形MFNP}=

1

2

×MN×PF即可求面積．

解答：解：如右圖所示，連接MN、FP，并延長(zhǎng)FP交AD于Q，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠PDG=∠PEA，∠PGD=∠PAE，
又∵E、G是AB、CD中點(diǎn)，
∴AE=

1

2

AB，DG=

1

2

CD，
∴AE=DG，
∴△PDG≌△PEA，
∴PD=PE，PG=PA，
∴P是DE、AG中點(diǎn)，
又∵F是BC中點(diǎn)，
∴PF∥CD，
∴FQ∥CD，
∴△DQP∽△DAE，
∴QP：AE=DQ：AD=1：2，
∴PQ=

1

2

AE，
∴PQ=

1

4

AB，
∴四邊形ABFQ、FCDQ是矩形，
∵F是BC中點(diǎn)，
∴AQ=DQ=BF=CF，
∴PF=

3

4

AB，
∵AB∥PQ，
∴△AEM∽△FPM，
∴AM：MF=AE：PF=3：2，
同理DN：NF=3：2，
∴AM：MF=DN：NF，
∴MN∥AD，
∴MN⊥FQ，
∴MN：AD=MF：AF=3：5，
∴MN=

3

5

AD，
∴S_{四邊形MFNP}=

1

2

×MN×PF=

1

2

×

9

20

×AB×CD=

9

40

×40=9．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)和判定、梯形中位線(xiàn)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是連接MN、FP，并延長(zhǎng)FP交AD于Q，證明MN⊥FP．