Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x正半軸上，OA=12

3

cm，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AO以2

3

cm/s的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t s（0＜t＜6）．
（1）求∠OAB的度數(shù)；
（2）以O(shè)B為直徑的⊙O′與AB交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時(shí)，PM與⊙O′相切？
（3）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B開(kāi)始沿BO以2cm/s的速度向點(diǎn)O移動(dòng)．如果P、Q、R分別從A、A、B同時(shí)移動(dòng)，當(dāng)t=4s時(shí)，試說(shuō)明四邊形BRPQ為菱形；
（4）在（3）的條件下，以R為圓心，r為半徑作⊙R，當(dāng)r不斷變化時(shí)，⊙R與菱形BRPQ各邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)將發(fā)生變化，隨當(dāng)交點(diǎn)個(gè)數(shù)發(fā)生變化時(shí)，請(qǐng)直接寫出r的對(duì)應(yīng)值或取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OAB中，已知了OA、OB的長(zhǎng)，即可求出∠OAB的正切值，由此可得到∠OAB的度數(shù)；
（2）連接O′M，當(dāng)PM與⊙O′相切時(shí)，PM、PO同為⊙O′的切線，易證得△OO′P≌△MO′P，則∠OO′P=∠MO′P；在（1）中易得∠OBA=60°，即△O′BM是等邊三角形，由此可得到∠BO′M=∠PO′M=∠PO′O=60°；在Rt△OPO′中，根據(jù)∠PO′O的度數(shù)及OO′的長(zhǎng)即可求得OP的長(zhǎng)，已知了P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，即可根據(jù)時(shí)間=路程÷速度求得t的值；
（3）分別求得BR、AP、BR的長(zhǎng)，依據(jù)依據(jù)平行線分線段成比例定理的逆定理即可證得四邊形BRPQ是平行四邊形，然后在直角三角形OPR中，利用勾股定理求得BR的長(zhǎng)，從而證明BR=PR，即可證得；
（4）根據(jù)（3）可以得到四邊形BRPQ是菱形，則△BPQ是等邊三角形，據(jù)此即可求得R到四邊形的邊的距離，從而判斷．

解答：解：（1）在Rt△AOB中：
tan∠OAB=

OB

OA

=

12

12 3

=

3

3

，
∴∠OAB=30°．

（2）如圖，連接O′P，O′M．
當(dāng)PM與⊙O′相切時(shí)，有：
∠PMO′=∠POO′=90°，
△PMO′≌△POO′．
由（1）知∠OBA=60°，
∵O′M=O′B，
∴△O′BM是等邊三角形，
∴∠BO′M=60°．
可得∠OO′P=∠MO′P=60°．
∴OP=OO′•tan∠OO′P=6tan60°=6

3

．
又∵OP=2

3

t
∴AP=6

3

∴2

3

t=6

3

，
∴t=3．
即：t=3時(shí)，PM與⊙O′相切；

（3）當(dāng)t=4s時(shí)，AQ=4×4=16，
BR=2×4=8，AP=4×2

3

=8

3

，
∴

OR

OB

=

OP

OA

，
∴PR∥AB，
同理，QP∥BR，
∴四邊形BRPQ是平行四邊形，
在直角△OPR中，OP=OA-AP=12

3

-8

3

=4

3

，OR=OB-BR=12-8=4，
PR=

OP2+OR2

=

(4 3 )2+42

=8，
∴BR=PR，
∴平行四邊形BRPQ是菱形；

（4）∵四邊形BRPQ是菱形時(shí)，根據(jù)（1）可以得到∠OBA=60°，
∴RB=RQ=RP=8，△BPQ是等邊三角形，
∴R到BQ和PQ的距離都是：8×

3

2

=4

3

，
故當(dāng)0＜r＜4

3

時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)r=4

3

時(shí)，有4個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)4

3

＜r＜8時(shí)，有6個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)r=8時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)r＞8時(shí)，有0個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，菱形的判定方法，以及勾股定理，正確證明四邊形BRPQ是菱形是關(guān)鍵．