解:(1)∵a≠0,abc=0,
∴bc=0
當(dāng)b=0時:
由
,
得
,
解得
.
或
∵a<b<c.
∴
(不合題意,舍去)
∴a=-1,b=0,c=4
<2>當(dāng)c=0時
由
,
得
解之得
.
或
,
∵a<b<c;
∴
和
,都不合題意,舍去.
∴所求的拋物線解析式為y=-x
2+4.
(2)①在y=-x
2+4中,當(dāng)y=0時,x=±2;當(dāng)x=0時,y=4.
∴A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0),(0,4)
過P作PG⊥x軸于G,
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,n)
∵點(diǎn)P是這條拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)
∴m>0,n>0,n=-m
2+4
∴PG=-m
2+4,OA=2,AG=m+2
∵OD∥PG,OD=1.5
∴
=
即
=
解得m
1=
,m
2=-2(不合題意,舍去)
∴OG=
又CD=OC-OD=4-1.5=2.5
S
△PDC=
•CD•OG=
×
×
=
S
△AOD=
•OA•OD=
×
×2=
=
∴S
△PDC>S
△AOD又∵S
△APC=S
△PDC+S
△ADC,S
△AOC=S
△AOD+S
△ADC
∴S
△APC>S
△AOC②分兩種情況討論:
在第一象限內(nèi),設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)Pn(m,n),使得S
△APnC=S
△AOC.
過Pn作PnM⊥x軸于點(diǎn)M,
則m>0,n>0,n=-m
2+4
OM=m,PnM=-m
2+4,OA=2,AM=m+2
設(shè)APn交y軸于點(diǎn)Dn,設(shè)ODn=t
∵ODn∥PnM,
∴
=
即
化簡為mt+2t=8-2m
2,DnC=OC-ODn=4-t
S
△AODn=
OA•ODn=
×2×t=t;
S
△PnCDn=
CDn•OM=
(4-t)×m;
∵S
△AOC=S
△APnC
∴S
△AODn=S
△PnCDn即t=
(4-t)×m,mt+2t=4m
將mt+2t=4m代入mt+2t=8-2m
2中有8-2m
2=4m
整理得m
2+2m-4=0,m
1=
-1,m
2=-1-
∵m>0,
∴m
2=-1-
(不合題意,舍去)
∴m=
-1,
此時n=-m
2+4=-(
-1)
2+4=2
-2
∴存在點(diǎn)Pn坐標(biāo)為(
-1,2
-2),
使得S
△APnC=S
△AOC在第二象限內(nèi),這條拋物線上任取一點(diǎn)Pnn,連接PnnA,PnnC,分別過點(diǎn)A作直線l
1垂直x軸,過點(diǎn)C作直線l
2垂直于y軸,l
1與l
2相交于Q點(diǎn),則四邊形QAOC是矩形,S
△AQC=S
△AOC.
設(shè)Pnn點(diǎn)坐標(biāo)為(mn,nn)
則有-2<mn<0
∵nn=-m
n2+4
∴0<nn<4
∴點(diǎn)Pn
n在矩形QAOC內(nèi),又易知Pnn在△AQC內(nèi)
∴S
△APnC<S
△AQC,S
△APnC<S
△AOC
∴在第二象限內(nèi)這條拋物線上不存在點(diǎn)Pnn,使S
△APnC=S
△AOC.
分析:(1)已知了四個條件:abc=0 ①;a+b+c=3②;ab+bc+ca=-3③;a<b<c④.
根據(jù)①可知b=0或c=0(a≠0),那么本題可分兩種情況進(jìn)行討論:
一:當(dāng)b=0,可聯(lián)立②③,求出a,c的值,然后根據(jù)④判斷出符合條件的a,c的值,進(jìn)而可求出拋物線的解析式.
二:當(dāng)c=0時,方法同一.
綜合兩種情況可得出拋物線的解析式.
(2)①比較S
△APC和S
△AOC的大小實際就是比較△DPC和△AOD的面積.
△AOD中,根據(jù)OA,OD的長,可求出△AOD的面積.
△DPC中,可以CD為底邊,P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為高,
過P作PG⊥x軸于G,OG就是△DPC的高.
可根據(jù)相似三角形ADO和APG,得出關(guān)于OD,PG,OA,OG的比例關(guān)系式.
設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo),即可根據(jù)所得的比例關(guān)系式求出P點(diǎn)的坐標(biāo),從而可求出△DPC的面積.
然后比較△DPC和△AOD的面積即可得出S
△APC和S
△AOC的大。
②本題要分兩種情況進(jìn)行討論:
當(dāng)P點(diǎn)在第一象限時,解法同①,只不過要設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)和OD的長,其他解法基本一樣,只是最后不是比較大小,而是得出一個等量關(guān)系.根據(jù)這個等量關(guān)系來求P點(diǎn)的坐標(biāo).
可分別過C,A作坐標(biāo)軸的平行線,可得出一個矩形,設(shè)兩條平行線的交點(diǎn)為Q,那么△AQC與△AOC的面積相等,而P在△ACQ內(nèi),因此△ACP的面積總小于△ACQ的面積.因此△ACP的面積不會和△ACO的面積相等.此種情況不成立.
點(diǎn)評:本題結(jié)合三角形的相關(guān)知識考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,由于題中的數(shù)據(jù)較多,計算過程較復(fù)雜,因此細(xì)心求解是解題的關(guān)鍵.