【題目】已知拋物線C:y=ax2+bx+c(a<0)過原點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B(4,0),A為拋物線C的頂點(diǎn).
(1)如圖1,若∠AOB=60°,求拋物線C的解析式;
(2)如圖2,若直線OA的解析式為y=x,將拋物線C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C′,求拋物線C、C′的解析式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)A′為拋物線C′的頂點(diǎn),求拋物線C或C′上使得PB=PA′的點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】
(1)解:連接AB.

∵A點(diǎn)是拋物線C的頂點(diǎn),且拋物線C交x軸于O、B,

∴AO=AB,

又∵∠AOB=60°,

∴△ABO是等邊三角形,

過A作AD⊥x軸于D,在Rt△OAD中,

∴OD=2,AD= ,

∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,

設(shè)拋物線C的解析式為 (a≠0),

將O(0,0)的坐標(biāo)代入,

求得:a=- ,

∴拋物線C的解析式為


(2)解:過A作AE⊥OB于E,

∵拋物線C:y=ax2+bx+c(a<0)過原點(diǎn)和B(4,0),頂點(diǎn)為A,

∴OE= OB=2,

又∵直線OA的解析式為y=x,

∴AE=OE=2,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2),

將A、B、O的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c(a<0)中,

∴a=- ,

∴拋物線C的解析式為 ,

又∵拋物線C、C′關(guān)于原點(diǎn)對稱,

∴拋物線C′的解析式為


(3)解:作A′B的垂直平分線l,分別交A′B、x軸于M、N(n,0),

由前可知,拋物線C′的頂點(diǎn)為A′(﹣2,﹣2),

故A′B的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,﹣1).

作MH⊥x軸于H,

∴△MHN∽△BHM,則MH2=HNHB,即12=(1﹣n)(4﹣1),

,即N點(diǎn)的坐標(biāo)為( ,0).

∵直線l過點(diǎn)M(1,﹣1)、N( ,0),

∴直線l的解析式為y=﹣3x+2,

,解得

∴在拋物線C上存在兩點(diǎn)使得PB=PA',其坐標(biāo)分別為

P1 , ),P2 , );

得,

∴在拋物線C′上也存在兩點(diǎn)使得PB=PA',其坐標(biāo)分別為

P3(﹣5+ ,17﹣3 ),P4(﹣5﹣ ,17+3 ).

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是:P1 , ),P2 , ),P3(﹣5+ ,17﹣3 ),P4(﹣5﹣ ,17+3 ).


【解析】(1)先連接AB,根據(jù)A點(diǎn)是拋物線C的頂點(diǎn),且C交x軸于O、B,得出AO=AB,再根據(jù)∠AOB=60°,得出△ABO是等邊三角形,再過A作AE⊥x軸于E,在Rt△OAE中,求出OD、AE的值,即可求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo),最后設(shè)拋物線C的解析式,求出a的值,從而得出拋物線C的解析式;(2)先過A作AE⊥OB于E,根據(jù)題意得出OE= OB=2,再根據(jù)直線OA的解析式為y=x,得出AE=OE=2,求出點(diǎn)A的坐標(biāo),再將A、B、O的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c(a<0)中,求出a的值,得出拋物線C的解析式,再根據(jù)拋物線C、C′關(guān)于原點(diǎn)對稱,從而得出拋物線C′的解析式;(3)先作A′B的垂直平分線l,分別交A′B、x軸于M、N(n,0),由(2)知,拋物線C′的頂點(diǎn)為A′(﹣2,﹣2),得出A′B的中點(diǎn)M的坐標(biāo),再作MH⊥x軸于H,得出△MHN∽△BHM,則MH2=HNHB,求出N點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)直線l過點(diǎn)M(1,﹣1)、N( ,0),得出直線l的解析式,求出x的值,再根據(jù)拋物線C上存在兩點(diǎn)使得PB=PA',從而得出P1 , P2坐標(biāo),再根據(jù)拋物線C′上也存在兩點(diǎn)使得PB=PA',得出P3 , P4的坐標(biāo),即可求出答案.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方;①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變,旋轉(zhuǎn)角度大小不變;②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變;③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變,只是位置變了才能正確解答此題.

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1)現(xiàn)有正方形紙板162張,長方形紙板340張.若要做兩種紙盒共100個(gè),設(shè)做豎式紙盒x個(gè).

①根據(jù)題意,完成以下表格:

紙盒

紙板

豎式紙盒(個(gè))

橫式紙盒(個(gè))

x

100﹣x

正方形紙板(張)

2100﹣x

長方形紙板(張)

4x

②按兩種紙盒的生產(chǎn)個(gè)數(shù)來分,有哪幾種生產(chǎn)方案?

2)若有正方形紙162張,長方形紙板a張,做成上述兩種紙盒,紙板恰好用完.已知290a306.求a的值.

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(1)購買一個(gè)足球、一個(gè)籃球各需多少元?

(2)根據(jù)同慶中學(xué)的實(shí)際情況,需從軍躍體育用品商店一次性購買足球和籃球共96個(gè),要求購買足球和籃球的總費(fèi)用不超過5720元,這所中學(xué)最多可以購買多少個(gè)籃球?

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(1)ADEF平行嗎?請說明理由;

(2)若點(diǎn)HFE的延長線上,且∠EDH=C,則∠F與∠H相等嗎,請說明理由.

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A. 40° B. 45° C. 60° D. 70°

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(1)1個(gè)大餐廳和1個(gè)小餐廳分別可供多少名學(xué)生就餐?

(2)若7個(gè)餐廳同時(shí)開放,能否供全校的5300名學(xué)生就餐?請說明理由

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