Question

附加題：（1）如圖，在四個正方形拼接成的圖形中，以A₁、A₂、A₃、…、A₁₀這十個點(diǎn)中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)，共能組成

 

個等腰直角三角形．

（2）已知y₁=-ax²-ax+1的頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為

9

8

，且與拋物線y₂=ax²-ax-1相交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記為x_A，x_B，若在x軸上有一動點(diǎn)Q（x，0），且x_A≤x≤x_B，過q作一條垂直于x軸的直線，與兩條拋物線分別交于C，D兩點(diǎn)，試問當(dāng)x為何值時，線段CD有最大值，其最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）設(shè)四個正方形的邊長為1，經(jīng)過試畫探究，可以發(fā)現(xiàn)，所求的等腰直角三角形中，按邊大小分，有三類：①以直角邊長為1的18個；②直角邊長為2的有2個；③直角邊長為

2

的有10個．
（2）先根據(jù)拋物線y₁的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)求出a的值，得a=

1

2

，因此y₁開口向下，y₂開口向上．那么CD的長可用y₁-y₂來表示，以此可得出一個關(guān)于CD長和x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出CD的最大值以及對應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）以A₁為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形有2個，以A₂為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形有1個，
以A₃為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形有4個，以A₄為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形有4個，
以A₅為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形有1個，以A₆為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形有2個，
以A₇為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形有6個，以A₈為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形有3個，
以A₉為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形有3個，以A₁₀為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形有6個，故共有32個．

（2）解：a=

1

2

．
∵a=

1

2

＞0．
∴拋物線y₁開口向下，拋物線y₂開口向上．
根據(jù)題意，得CD=y₁-y₂=（-

1

2

x²-

1

2

x+1）-（

1

2

x²-

1

2

x-1）=-x²+2．
∵x_A≤x≤x_B，
∴當(dāng)x=0時，CD有最大值2．

點(diǎn)評：本題考查了規(guī)律性問題以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．