【題目】已知:如圖,ABCD的對角線AC、BD相交于點O,∠BDC=45°,過點B作BH⊥DC交DC的延長線于點H,在DC上取DE=CH,延長BH至F,使FH=CH,連接DF、EF.
(1)若AB=2,AD=,求BH的值;
(2)求證:AC=EF.
【答案】(1)3;(2)見解析
【解析】
(1)過點A作AN⊥BD于N,證出△ABN是等腰直角三角形,得出AN=BN=AB=,DN=2,得出BD=BN+DN=+2=3,證出△BDH是等腰直角三角形,即可得出BH=DH=BD=3;
(2)取DH的中點M,連接OM,證出OM是△BDH的中位線,得出OM∥BH,OM=BH=DH=DM,設DE=a,CE=b,則CH=FH=a,CD=EH=CE+CH=a+b,BH=DH=DE+CE+CH=2a+b,得出OM=DM=(2a+b),CM=CD﹣DM=b,在Rt△OMC中,由勾股定理得出OC2=(2a+b)2+b2=AC2,得出AC2=(2a+b)2+b2=4a2+4ab+2b2=2(2a2+2ab+b2),在Rt△EHF中,由勾股定理得出EF2=2a2+2ab+b2,得出AC2=2EF2,即可得出結論.
(1)解:過點A作AN⊥BD于N,如圖1所示:
∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴AB∥CD,
∴∠ABD=∠BDC=45°,
∵AN⊥BD,
∴△ABN是等腰直角三角形,
∵AB=2,
∴AN=BN=AB=,DN===2,
∴BD=BN+DN=+2=3,
∵BH⊥DC,
∴△BDH是等腰直角三角形,
∴BH=DH=BD=×3=3;
(2)證明:取DH的中點M,連接OM,如圖2所示:
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OB=OD,
∴OM是△BDH的中位線,
∴OM∥BH,OM=BH=DH=DM,
設DE=a,CE=b,則CH=FH=a,CD=EH=CE+CH=a+b,BH=DH=DE+CE+CH=2a+b,
∴OM=DM=(2a+b),
∴CM=CD﹣DM=a+b﹣(2a+b)=b,
在Rt△OMC中,由勾股定理得:OC2=OM2+CM2=(2a+b)2+b2=AC2,
∴AC2=(2a+b)2+b2=4a2+4ab+2b2=2(2a2+2ab+b2),
在Rt△EHF中,由勾股定理得:EF2=EH2+FH2=(a+b)2+a2=2a2+2ab+b2,
∴AC2=2EF2,
∴AC=EF.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=mx2﹣2mx+n(m≠0)與x軸交于點A,B,點A的坐標為(﹣2,0).
(1)寫出拋物線的對稱軸;
(2)直線過點B,且與拋物線的另一個交點為C.
①分別求直線和拋物線所對應的函數(shù)表達式;
②點P為拋物線對稱軸上的動點,過點P的兩條直線l1:y=x+a和l2:y=﹣x+b組成圖形G.當圖形G與線段BC有公共點時,直接寫出點P的縱坐標t的取值范圍.
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【題目】如圖,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90°,點D是AC的中點,點P是BC邊上的動點,連接PA、PD.則PA+PD的最小值為( )
A.B.C.D.3
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【題目】某商場同時購進甲、乙兩種商品共100件,其進價和售價如下表:
商品名稱 | 甲 | 乙 |
進價(元/件) | 40 | 90 |
售價(元/件) | 60 | 120 |
設其中甲種商品購進x件,商場售完這100件商品的總利潤為y元.
(Ⅰ)寫出y關于x的函數(shù)關系式;
(Ⅱ)該商場計劃最多投入8000元用于購買這兩種商品,
①至少要購進多少件甲商品?
②若銷售完這些商品,則商場可獲得的最大利潤是多少元?
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【題目】隨著電影《流浪地球》的熱映,科幻大神劉慈欣的著作受到廣大書迷的追捧,《流浪地球》《球狀閃電》《三體》《超新星紀元》四部小說在某網(wǎng)上書城熱銷.已知《流浪地球》的銷售單價與《球狀閃電》相同,《三體》的銷售單價是《超新星紀元》單價的3倍,《流浪地球》與《超新星紀元》的單價和大于40元且不超過50元;若自電影上映以來,《流浪地球》與《超新星紀元》的日銷售量相同,《球狀閃電》的日銷售量為《三體》日銷售量的3倍,《流浪地球》與《三體》的日銷售量和為450本,且《流浪地球》的日銷售量不低于《三體》的日銷量的且小于230本;《流浪地球》《三體》的日銷量額之和比《球狀閃電》《超新星紀元》的日銷售額之和多1575元.則當《流浪地球》《三體》這2部小說日銷額之和最多時,《流浪地球》的單價為_____元.
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【題目】如圖,在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格圖中,△ABC的頂點都在網(wǎng)格線交點上.
(1)圖中AC邊上的高為 個單位長度;
(2)只用沒有刻度的直尺,在所給網(wǎng)格圖中按如下要求畫圖(保留必要痕跡):
①以點C為位似中心,把△ABC按相似比1:2縮小,得到△DEC;
②以AB為一邊,作矩形ABMN,使得它的面積恰好為△ABC的面積的2倍.
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【題目】(7分)“校園手機”現(xiàn)象越來越受到社會的關注,小記者劉紅隨機調查了某校若干學生和家長對中學生帶手機現(xiàn)象的看法,制作了如下的統(tǒng)計圖:
(1)求這次調查的總人數(shù),并補全圖1;
(2)求圖2中表示家長“贊成”的圓心角的度數(shù);
(3)針對隨機調查的情況,劉紅決定從初三一班表示贊成的4位家長中隨機選擇2位進行深入調查,其中包含小亮和小丁的家長,請你利用樹狀圖或列表的方法,求出小亮和小丁的家長被同時選中的概率.
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【題目】我們已經(jīng)知道一些特殊的勾股數(shù),如三連續(xù)正整數(shù)中的勾股數(shù):3、4、5;三個連續(xù)的偶數(shù)中的勾股數(shù)6、8、10;事實上,勾股數(shù)的正整數(shù)倍仍然是勾股數(shù).
(1)另外利用一些構成勾股數(shù)的公式也可以寫出許多勾股數(shù),畢達哥拉斯學派提出的公式:a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(n為正整數(shù))是一組勾股數(shù),請證明滿足以上公式的a、b、c的數(shù)是一組勾股數(shù).
(2)然而,世界上第一次給出的勾股數(shù)公式,收集在我國古代的著名數(shù)學著作《九章算術》中,書中提到:當a=(m2﹣n2),b=mn,c=(m2+n2)(m、n為正整數(shù),m>n時,a、b、c構成一組勾股數(shù);利用上述結論,解決如下問題:已知某直角三角形的邊長滿足上述勾股數(shù),其中一邊長為37,且n=5,求該直角三角形另兩邊的長.
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【題目】如圖1,在中,是的直徑,交于點,過點的直線交于點,交的延長線于點.
(1)求證:是的切線;
(2)若,試求的長;
(3)如圖2,點是弧的中點,連結,交于點,若,求的值.
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