Question

如圖，拋物線與直線交于點A 、B，與y軸交于點C．

（1）求點A、B的坐標；
（2）若點P是直線x=1上一點，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

符合條件的點P共有4個，分別為：P₁（1，-8），P₁′（1，8），P₂（1，-4），P₂′（1，12）．

試題分析：（1）將兩個函數解析式聯立，組成一個方程組求得x、y的值即可得到兩點的坐標；
（2）存在符合條件的點P共有3個．因而分三類情形探求．
①以AB為腰且頂角為∠A：△P₁AB；②以AB為腰且頂角為∠B：△P₂AB；③以AB為底，頂角為∠P的△PAB有1個，即△P₃AB．綜上得出符合條件的點．
試題解析：
解：（1）由題意得：解得：或
∴A（-3，0）B（5，4）
（2）存在符合條件的點P共有4個．以下分三類情形探求．
由A（-3，0），B（5，4），C（0，4），可得BC∥x軸，BC＝AC，
設直線x＝1與x軸交于N，與CB交于M，
過點B作BQ⊥x軸于Q，易得BQ＝4，AQ＝8，AN＝4，BM＝4，
①以AB為腰且頂角為∠A：△P₁AB．
∴AB²＝AQ²+BQ²＝8²+4²＝80，
在Rt△ANP₁中，，
∴，

②以AB為腰且頂角為∠B：△P₂AB．
在Rt△BMP₂中， ，
∴P₂（1，-4）或P₂′（1，12），
③以AB為底，頂角為∠P的△PAB有1個，即△P₃AB．
畫AB的垂直平分線交拋物線對稱軸于P₃，此時平分線必過等腰△ABC的頂點C．
過點P₃作P₃K垂直y軸，垂足為K，顯然Rt△P₃CK∽Rt△BAQ．
∴．
∵P₃K＝1，
∴CK＝2，于是OK＝2，
∴P₃（1，2），
而P₃（1，2）在線段AB上，構不成三角形，舍去．
綜上，符合條件的點P共有4個，分別為：