Question

閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．
已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE=∠CDE，求證：AB=CD．
分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等．因此，要證明AB=CD，必須添加適當?shù)妮o助線，構造全等三角形或等腰三角形．
現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法，請任意選擇其中兩種對原題進行證明．

圖（1）：延長DE到F使得EF=DE
圖（2）：作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延長線于F
圖（3）：過C點作CF∥AB交DE的延長線于F．

Answer 1

分析：如圖（1）延長DE到F使得EF=DE，證明△DCE≌△FBE，得到∠CDE=∠F，BF=DC，結合題干條件即可得到結論；如圖3，過C點作CF∥AB交DE的延長線于F，得到△ABE≌△FCE，AB=FC，結合題干條件即可得到結論．

解答：解：如圖（1）延長DE到F使得EF=DE，
在△DCE和△FBE中，

EF=DE ∠DEC=∠FEB BE=EC

，
∴△DCE≌△FBE（SAS），
∴∠CDE=∠F，BF=DC，
∵∠BAE=∠CDE，
∴BF=AB，
∴AB=CD；

如圖3，過C點作CF∥AB交DE的延長線于F，
在△ABE和△FCE中，

∠B=∠ECF BE=EC ∠BAE=∠F

，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB=FC，
∵∠BAE=∠CDE，
∴∠F=∠CDE，
∴CD=CF，
∴AB=CD．

點評：本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理，此題難度不大，但是做題方法較多．