Question

已知關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x²-（2a-3）x+a=0有實(shí)數(shù)根．
（1）求a的取值范圍；
（2）設(shè)x₁，x₂是一元二次方程（a-1）x²-（2a-3）x+a=0的兩個(gè)根，且x₁²+x₂²=9，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍．
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡x₁²+x₂²=9，求出a的值．
解答：解：（1）當(dāng)a-1=0即a=1時(shí)，方程不是一元二次方程；
當(dāng)a≠1時(shí)，由△=b²-4ac≥0，得（2a-3）²-4a（a-1）≥0，
解得a≤，
∵a-1≠0，∴a≠1，
則a的取值范圍是a≤且a≠1，
（2）∵x₁，x₂是一元二次方程（a-1）x²-（2a-3）x+a=0的兩個(gè)根，
∴x₁+x₂=，
x₁x₂=．
又∵x₁²+x₂²=9，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9．
（）²-2×=9．
整理，得7a²-8a=0，
a（7a-8）=0．
∴a₁=0，a₂=（舍去）．
經(jīng)檢驗(yàn)0是方程的根．故a=0．
點(diǎn)評(píng)：總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．
本題主要應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及利用根的判別式確定a值．