Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線 (b，c為常數(shù))的頂點(diǎn)為P，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，–1)，C的坐標(biāo)為(4，3)，直角頂點(diǎn)B在第四象限．
(1)如圖，若該拋物線過(guò)A，B兩點(diǎn)，求b，c的值；
(2)平移(1)中的拋物線，使頂點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng)，且與直線AC交于另一點(diǎn)Q．
①點(diǎn)M在直線AC下方，且為平移前(1)中的拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)以M，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是以PQ為腰的等腰直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②取BC的中點(diǎn)N，連接NP，BQ．當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為________.

Answer 1

（1）；（2）①（4，﹣1），（﹣2，﹣7）；②.

解析試題分析：（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求即可求得b，c的值.
（2）①首先求出直線AC的解析式和線段PQ的長(zhǎng)度，作為后續(xù)計(jì)算的基礎(chǔ)，當(dāng)以M，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是以PQ為腰的等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)M到PQ的距離為．此時(shí)，將直線AC向右平移4個(gè)單位后所得直線（y=x-5）與拋物線的交點(diǎn)，即為所求之M點(diǎn).
②由①可知，PQ=為定值，因此當(dāng)NP+BQ取最小值時(shí)，有最大值．如答圖2所示，作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，由分析可知，當(dāng)B′、Q、F（AB中點(diǎn)）三點(diǎn)共線時(shí)，NP+BQ最小，進(jìn)而求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
試題解析：（1）由題意，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，﹣1）．
∵拋物線過(guò)A（0，﹣1），B（4，﹣1）兩點(diǎn)，
∴，解得.
（2）①由（1）得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：.
∵A（0，﹣1），C（4，3），∴直線AC的解析式為：y=x﹣1.
設(shè)平移前拋物線的頂點(diǎn)為P₀，則由（1）可得P₀的坐標(biāo)為（2，1），且P₀在直線AC上.
∵點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng)，∴可設(shè)P的坐標(biāo)為（m，m﹣1）.
則平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：.
解方程組：，解得，.
∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）.
過(guò)點(diǎn)P作PE∥x軸，過(guò)點(diǎn)Q作QE∥y軸，則
PE=m﹣（m﹣2）=2，QE=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2，
∴PQ==AP₀.
當(dāng)以M，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是以PQ為腰的等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)M到PQ的距離為（即為PQ的長(zhǎng)），
由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P₀（2，1）可知，
△ABP₀為等腰直角三角形，且BP₀⊥AC，BP₀=.
如答圖1，過(guò)點(diǎn)B作直線l₁∥AC，交拋物線于點(diǎn)M，則M為符合條件的點(diǎn).
∴可設(shè)直線l₁的解析式為：y=x+b₁.
∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b₁，解得b₁=﹣5.∴直線l₁的解析式為：y=x﹣5.
解方程組，得：，.
∴M₁（4，﹣1），M₂（﹣2，﹣7）.

②取點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，易得點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（0，3），BQ=B′Q．
如答圖2，連接QF，F(xiàn)N，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四邊形PQFN為平行四邊形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′.
∴當(dāng)B′、Q、F三點(diǎn)共線時(shí)，NP+BQ最小，則取最大值，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.平移問(wèn)題；3.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；4.待定系數(shù)法的應(yīng)用；5.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；6.等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；7.軸對(duì)稱的應(yīng)用（最短路線問(wèn)題）.