(2002•泰州)已知一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn),且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點(diǎn)C(4,n),CD⊥x軸于D.
(1)求m、n的值,并在給定的直角坐標(biāo)系中作出一次函數(shù)的圖象;
(2)如果點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),以相同的速度沿線段AD、CA向D、A運(yùn)動(dòng),設(shè)AP=k.
①k為何值時(shí),以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似?
②k為何值時(shí),△APQ的面積取得最大值并求出這個(gè)最大值.

【答案】分析:(1)首先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式求得n的值,再根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)求得m的值.根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)確畫出函數(shù)的圖象;
(2)①已知△AOB是直角三角形,要使以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似,則∠APQ=90°或∠AQP=90°.根據(jù)題意表示對(duì)應(yīng)的兩條邊,再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等列方程求解;②首先根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等表示出AP邊上的高,再進(jìn)一步表示三角形的面積,根據(jù)函數(shù)解析式分析其最值.
解答:解:(1)把(4,n)代入反比例函數(shù),得:n=6
把(4,6)代入一次函數(shù)y=x+m,得:m=3
∴y=x+3.
令x=0,則y=3;令y=0,則x=-4.(如圖)

(2)①根據(jù)題意,得AP=CQ=k,根據(jù)勾股定理,得AC=10,則AQ=10-k
當(dāng)∠APQ=90°時(shí),則有,即,k=;
當(dāng)∠AQP=90°時(shí),則有,即,k=
②作QM⊥x軸于M,則△AQM∽△ACD,
則有,即,QM=
則S△APQ=××k=-k2+3k
所以當(dāng)k=5時(shí),則該三角形的面積的最大值是7.5.
點(diǎn)評(píng):能夠根據(jù)函數(shù)的解析式求得點(diǎn)的坐標(biāo),能夠根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求得函數(shù)的解析式;熟練運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì).
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(2002•泰州)等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,面積S=9,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,已知A(1,0)、B(0,3).
(1)求C、D兩點(diǎn)坐標(biāo);
(2)取點(diǎn)E(0,1),連接DE并延長(zhǎng)交AB于F,求證:DF⊥AB;
(3)將梯形ABCD繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°到AB′C′D′,求對(duì)稱軸平行于y軸,且經(jīng)過(guò)A、B′、C′三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(4)是否存在這樣的直線,滿足以下條件:①平行于x軸,②與(3)中的拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),且這兩交點(diǎn)和(3)中的拋物線的頂點(diǎn)恰是一個(gè)等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)?若存在,求出這個(gè)等邊三角形的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(2002•泰州)已知一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn),且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點(diǎn)C(4,n),CD⊥x軸于D.
(1)求m、n的值,并在給定的直角坐標(biāo)系中作出一次函數(shù)的圖象;
(2)如果點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),以相同的速度沿線段AD、CA向D、A運(yùn)動(dòng),設(shè)AP=k.
①k為何值時(shí),以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似?
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(2002•泰州)等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,面積S=9,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,已知A(1,0)、B(0,3).
(1)求C、D兩點(diǎn)坐標(biāo);
(2)取點(diǎn)E(0,1),連接DE并延長(zhǎng)交AB于F,求證:DF⊥AB;
(3)將梯形ABCD繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°到AB′C′D′,求對(duì)稱軸平行于y軸,且經(jīng)過(guò)A、B′、C′三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(4)是否存在這樣的直線,滿足以下條件:①平行于x軸,②與(3)中的拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),且這兩交點(diǎn)和(3)中的拋物線的頂點(diǎn)恰是一個(gè)等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)?若存在,求出這個(gè)等邊三角形的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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