Question

重慶市墊江縣具有2000多年的牡丹種植歷史．每年3月下旬至4月上旬，主要分布在該縣太平鎮(zhèn)、澄溪鎮(zhèn)明月山一帶的牡丹迎春怒放，美不勝收．由于牡丹之根---丹皮是重要中藥材，目前已種植有60多個(gè)品種2萬余畝牡丹的墊江，因此成為我國(guó)丹皮出口基地，獲得“丹皮之鄉(xiāng)”的美譽(yù)．為了提高農(nóng)戶收入，該縣決定在現(xiàn)有基礎(chǔ)上開荒種植牡丹并實(shí)行政府補(bǔ)貼，規(guī)定每新種植一畝牡丹一次性補(bǔ)貼農(nóng)戶若干元，經(jīng)調(diào)查，種植畝數(shù)y（畝）與補(bǔ)貼數(shù)額x（元）之間成一次函數(shù)關(guān)系，且補(bǔ)貼與種植情況如下表：

補(bǔ)貼數(shù)額（元）	10	20	…
種植畝數(shù)（畝）	160	240	…

隨著補(bǔ)貼數(shù)額x的不斷增大，種植規(guī)模也不斷增加，但每畝牡丹的收益z（元）會(huì)相應(yīng)降低，且該縣補(bǔ)貼政策實(shí)施前每畝牡丹的收益為3000元，而每補(bǔ)貼10元（補(bǔ)貼數(shù)為10元的整數(shù)倍），每畝牡丹的收益會(huì)相應(yīng)減少30元．
（1）分別求出政府補(bǔ)貼政策實(shí)施后，種植畝數(shù)y（畝）、每畝牡丹的收益z（元）與政府補(bǔ)貼數(shù)額x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）要使全縣新種植的牡丹總收益W（元）最大，又要從政府的角度出發(fā)，政府應(yīng)將每畝補(bǔ)貼數(shù)額x定為多少元？并求出總收益W的最大值和此時(shí)種植畝數(shù)；（總收益=每畝收益×畝數(shù)）
（3）在（2）問中取得最大總收益的情況下，為了發(fā)展旅游業(yè)，需占用其中不超過50畝的新種牡丹園，利用其樹間空地種植剛由國(guó)際牡丹園培育出的“黑桃皇后”．已知引進(jìn)該新品種平均每畝的費(fèi)用為530元，此外還要購(gòu)置其它設(shè)備，這項(xiàng)費(fèi)用（元）等于種植面積（畝）的平方的25倍．這樣混種了“黑桃皇后”的這部分土地比原來種植單一品種牡丹時(shí)每畝的平均收益增加了2000元，這部分混種土地在扣除所有費(fèi)用后總收益為85000元．求混種牡丹的土地有多少畝？（結(jié)果精確到個(gè)位）（參考數(shù)據(jù)：

2

≈1.414，

3

≈1.732，

5

≈2.236）

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)已知條件和表格數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法可以求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，又隨著補(bǔ)貼數(shù)額x的不斷增大，種植規(guī)模也不斷增加，但每畝牡丹的收益z（元）會(huì)相應(yīng)降低，且該縣補(bǔ)貼政策實(shí)施前每畝牡丹的收益為3000元，而每補(bǔ)貼10元（補(bǔ)貼數(shù)為10元的整數(shù)倍），每畝牡丹的收益會(huì)相應(yīng)減少30元，由此可以得到z=3000-

x

10

×30，化簡(jiǎn)即可得到函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)題目條件知道W=y•z，然后分別把（1）中的函數(shù)關(guān)系式代入其中即可得到W關(guān)于x的二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；
（3）此時(shí)平均每畝收益

6120000

4000

=1530（元），設(shè)混種牡丹的土地m畝，則根據(jù)題意可以列出方程（1530+2000）•m-530m-25m²=85000，解方程即可求出m，也就求出了混種牡丹的土地有多少畝．

解答：解：（1）設(shè)種植畝數(shù)y（畝）與政府補(bǔ)貼數(shù)額x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
依題意得函數(shù)圖象過（10，160）（20，240），
∴

160=10k+b 240=20k+b

解得

k=8 b=80

，
∴y=8x+80，
依題意得
z=3000-

x

10

×30=-3x+3000；

（2）W=y•z=（8x+80）（-3x+3000）
=-24x²+23760x+240000
=-24（x²-990x+495²-495²）+240000
=-24（x-495）²+6120600
∵x為10的整數(shù)倍
∴當(dāng)x=490或x=500時(shí)，W_最大=6120000
∵從政府角度出發(fā)
∴當(dāng)x=490時(shí)，W_最大=6120000，
此時(shí)種植y=8×490+80=4000畝；

（3）此時(shí)平均每畝收益

6120000

4000

=1530（元），
設(shè)混種牡丹的土地m畝，則
（1530+2000）•m-530m-25m²=85000
m²-120m+3400=0
解得：m=60±10

2

，
∴m₁=60+10

2

≈74＞50，
m₂=60-10

2

≈46，
∴混種牡丹的土地有46畝．

點(diǎn)評(píng)：本題分別考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用、一元二次方程在實(shí)際中的應(yīng)用、待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，解題時(shí)首先要正確理解題意，準(zhǔn)確把握題目中的數(shù)量關(guān)系，利用這些數(shù)量關(guān)系分別確定函數(shù)關(guān)系式和列出方程解決問題．