Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4a，E是BC的中點(diǎn)，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PC的最小值為              .

Answer 1

 

試題分析：根據(jù)菱形的判定，得出平行四邊形ABCD為菱形，作出E關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段長(zhǎng)度的問(wèn)題，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)判斷出△BCE′為直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的長(zhǎng)．
 
∵E是BC的中點(diǎn)，BE=2a，
∴BC=2BE=2×2a=4a，
故BC=AC，
∴平行四邊形ABCD為菱形．
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD是∠ABC的平分線(xiàn)．
作E關(guān)BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，
連接CE′，PE，
則PE=PE′，
此時(shí)，PE+PC=PE′+PC=CE′，
CE′即為PE+PC的最小值．
∵∠A=120°，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵BE′=BE，
∴△E′BE為正三角形，EE′=2a，∠ABE=60°，
故EE′=EC，
∠EE′C=∠ECE′=30°，
∴∠BE′C=60°+30°=90°，
在Rt△BCE′中，

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，是中考中比較常見(jiàn)的知識(shí)點(diǎn)，一般難度不大，需熟練掌握.