Question

如圖，已知等邊三角形ABC,以邊BC為直徑的半圓與邊AB、AC分別交于點(diǎn)D、點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F．

（1）判斷EF與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，求FH的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

(1)EF是⊙O的切線 (2) FH=BFsin60°=

試題分析：.
解：(1)EF是⊙O的切線.  
連接OE
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝∠A＝60°，

∵OE＝OC，
∴△OCE是等邊三角形，
∴∠EOC＝∠B＝60°，
∴OE∥AB.
∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
∴EF是⊙O的切線.
(2)∵OE∥AB，
∴OE是中位線.
∵AC＝8，
∴AE＝CE＝4.
∵∠A＝60°，EF⊥AB，
∴∠AEF＝30°，
∴AF＝2.  
∴BF＝6.
∵FH⊥BC，∠B＝60°，∴FH=BFsin60°=
點(diǎn)評(píng)：通過(guò)切線的判定定理來(lái)證明直線與圓相切，是證明此類問(wèn)題的首選.