【題目】如圖,在等腰RtABC中,∠ABC=90°,AB=BC,D為斜邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過(guò)D點(diǎn)作BC的垂線交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F,使得BF=CE,連接EF.

(1)AB=2,BF=3,求AD的長(zhǎng)度;

(2)GAC中點(diǎn),連接GF,求證:∠AFG+∠BEF=GFE.

【答案】(1)5(2)見(jiàn)詳解

【解析】

(1)易證DE∥AB,可得△ABC∽△DEC,即可證明△CDE為等腰直角三角形,根據(jù)CE即可求得CD的長(zhǎng),根據(jù)AB可求得AC的長(zhǎng),根據(jù)AD=AC+CD即可解題;

(2)連接EG、BG,易證BG=CG,∠ABG=∠ACB=45°,即可證明△GBF≌△GCE,可得GE=GF,∠BGF=∠CGE,∠AFG=∠BEG,即可證明△EFG為等腰直角三角形,可得∠GFE=∠GEF,根據(jù)∠GEF=∠BEG+∠BEF即可解題.

(1)∵DE⊥BE,AB⊥BE,

∴DE∥AB,

∴△ABC∽△DEC,

∴△CDE為等腰直角三角形,

∵CE=BF=3,∴CD=3,

∵AB=2,∴AC=2,

∴AD=AC+CD=5;

(2)連接EG、BG,證明△GBF≌△GCE.:∠AFG+∠BEF=∠GFE.

∵G是等腰直角△ABC斜邊AC中點(diǎn),

∴BG=CG,∠ABG=∠ACB=45°,

∴∠GBF=∠GCE=135°,

∵在△GBF和△GCE, GB=GC,∠GBF=∠GCE,BF=CE,

∴△GBF≌△GCE,(SAS)

∴GE=GF,∠BGF=∠CGE,∠AFG=∠BEG,

∵∠BGF+∠FGC=90°

∴∠CGE+∠FGC=90°,即∠EGF=90°,

∴△EFG為等腰直角三角形,

∴∠GFE=∠GEF=45°,

∵∠GEF=∠BEG+∠BEF,

∴∠GEF=∠AFG+∠BEF,

∴∠AFG+∠BEF=∠GFE.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)當(dāng)m=3,求直線AM的解析式;
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(1)求E點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣h)2+k,求a,h,k;
(3)點(diǎn)M為直線AB上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)M,N,使得以點(diǎn)M,N,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)M,N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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