Question

（2013•荊門模擬）如圖，在平面直角坐標系中，將直線y=kx沿y軸向下平移3個單位長度后恰好經(jīng)過B（-3，0）及y軸上的C點．若拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），且經(jīng)過點C，其對稱軸與直線BC交于點E，與x軸交于點F．
（1）求直線BC及拋物線的解析式；
（2）設拋物線的頂點為D，點P在拋物線的對稱軸上，若∠APD=∠ACB，求點P的坐標；
（3）在拋物線上是否存在點M，使得直線CM把四邊形EFOC分成面積相等的兩部分？若存在，請求出直線CM的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)y=kx沿y軸向下平移3個單位長度后經(jīng)過y軸上的點C求出C點的坐標，再用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再根據(jù)拋物線y=-x²+bx+c過點B，C，把B、C兩點的坐標代入所設函數(shù)解析式即可求出此解析式；
（2）根據(jù)（1）中二次函數(shù)的解析式可求出A、D兩點的坐標，判斷出△OBC是等腰直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義可求出∠OBC的度數(shù)，過點A作AE⊥BC于點E，利用勾股定理可求出BE、AE及CE的長，再根據(jù)相似三角形的判定定理可得出△AEC∽△AFP，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可求出PF的長，再點P在拋物線的對稱軸上即可求出點P的坐標；
（3）先根據(jù)梯形的面積公式求出四邊形EFOC的面積，再假設直線過點F，求出△OCF的面積與四邊形EFOC的面積的一半相比較可知，直線必過線段OF，再假設直線CM與線段OF相較于點G（x，0），再根據(jù)三角形的面積公式求出x的值，利用待定系數(shù)法求出直線CG的解析式，再求出此直線與拋物線的交點即可．

解答：解：（1）∵y=kx沿y軸向下平移3個單位長度后經(jīng)過y軸上的點C，
∴此時直線的解析式為y=kx-3，令x=0，則y=-3，
∴C（0，-3），
設直線BC的解析式為y=kx-3．
∵B（-3，0）在直線BC上，
∴-3k-3=0解得k=-1．
∴直線BC的解析式為y=-x-3．
∵拋物線y=-x²+bx+c過點B，C，
∴

-9-3b+c=0 c=-3

，
解得

b=-4 c=-3

，
∴拋物線的解析式為y=-x²-4x-3；

（2）由y=-x²-4x-3．可得D（-2，1），A（-1，0）．
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，
可得△OBC是等腰直角三角形．
∴∠OBC=45°，CB=3

2

．
設拋物線對稱軸與x軸交于點F，
∴AF=

1

2

AB=1．
連接AE，
∵∠AEF=∠BEF=45°，
∴∠AEB=90°．
可得BE=AE=

2

，CE=2

2

，
在△AEC與△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP．
∴

AE

AF

=

CE

PF

，

2

1

=

2 2

PF

，解得，PF=2，
∵點P在拋物線的對稱軸上，
∴點P的坐標為（-2，-2），（-2，2）（不合題意舍去）．

（3）存在．
∵D（-2，1），C（0，-3），直線BC的解析式為y=-x-3，
∴F（-2，0），E（-2，-1），
∴S_梯形EFOC=

1

2

（EF+OC）•OF=

1

2

×（1+3）×2=4，
∵當直線CM過點F時，S_△OCF=

1

2

OC•OF=

1

2

×3×2=3＞

1

2

S_梯形EFOC=2，
∴直線必過線段OF，設直線CM與線段OF相較于點G（x，0），則S_△OCG=

1

2

OC•OG=

1

2

×3×
（-x）=2，解得x=-

4

3

，
∴G（-

4

3

，0），
設直線CM的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵C（0，-3），G（-

4

3

，0）在直線CM上，
∴

b=-3 - 4 3 k+b=0

，解得

b=-3 k=- 9 4

，
∴直線cm的解析式為y=-

9

4

x-3，
∴

y=- 9 4 x-3 y=-x2-4x-3

，解得

x=0 y=-3

或

x=- 7 4 y= 15 16

．
∴直線CM的解析式為y=-

9

4

x-3．

點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、梯形及三角形的面積等相關(guān)知識，難度較大．