【題目】(本題滿分10分)(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
如圖1,△ACB和△DCE均為等邊三角形,點(diǎn)A、D、E在同一直線上,連接BE,
填空:①∠AEB的度數(shù)為 ;
②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)拓展探究
如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=900, 點(diǎn)A、D、E在同一直線上,CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE.請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(3)解決問(wèn)題如圖3,在正方形ABCD中,CD=.若點(diǎn)P滿足PD=1,且∠BPD=900,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A到BP的距離.
【答案】(1)①60;②AD=BE;(2)∠AEB=900;AE=2CM+BE,理由見(jiàn)試題解析;(3)或.
【解析】
試題分析:(1)由條件易證△ACD≌△BCE,從而得到:AD=BE,∠ADC=∠BEC.由點(diǎn)A,D,E在同一直線上可求出∠ADC,從而可以求出∠AEB的度數(shù).
(2)仿照(1)中的解法可求出∠AEB的度數(shù),證出AD=BE;由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME,從而證到AE=2CH+BE.
(3)由PD=1可得:點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心,1為半徑的圓上;由∠BPD=90°可得:點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上.顯然,點(diǎn)P是這兩個(gè)圓的交點(diǎn),由于兩圓有兩個(gè)交點(diǎn),接下來(lái)需對(duì)兩個(gè)位置分別進(jìn)行討論.然后,添加適當(dāng)?shù)妮o助線,借助于(2)中的結(jié)論即可解決問(wèn)題.
試題解析:(1)①如圖1,
∵△ACB和△DCE均為等邊三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,∵AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),∴∠ADC=∠BEC.
∵△DCE為等邊三角形,∴∠CDE=∠CED=60°.
∵點(diǎn)A,D,E在同一直線上,∴∠ADC=120°,∴∠BEC=120°,∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°.
故答案為:60°.
②∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE.故答案為:AD=BE.
(2)∠AEB=90°,AE=BE+2CM.
理由:如圖2,
∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,∵CA=CB,∠ACD=∠BCE,CD=CE,∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.
∵△DCE為等腰直角三角形,∴∠CDE=∠CED=45°.
∵點(diǎn)A,D,E在同一直線上,∴∠ADC=135°,∴∠BEC=135°,∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°.
∵CD=CE,CM⊥DE,∴DM=ME,
∵∠DCE=90°,∴DM=ME=CM,∴AE=AD+DE=BE+2CM.
(3)∵PD=1,∴點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心,1為半徑的圓上.
∵∠BPD=90°,∴點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上,∴點(diǎn)P是這兩圓的交點(diǎn).
①當(dāng)點(diǎn)P在如圖3①所示位置時(shí),
連接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足為H,
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AP,交BP于點(diǎn)E,如圖3①.
∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ADB=45°.AB=AD=DC=BC=,∠BAD=90°,∴BD=2.
∵DP=1,∴BP=.
∵A、P、D、B四點(diǎn)共圓,∴∠APB=∠ADB=45°,∴△PAE是等腰直角三角形.
又∵△BAD是等腰直角三角形,點(diǎn)B、E、P共線,AH⊥BP,∴由(2)中的結(jié)論可得:BP=2AH+PD.
∴=2AH+1,∴AH=;
②當(dāng)點(diǎn)P在如圖3②所示位置時(shí),
連接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足為H,
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AP,交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,如圖3②.
同理可得:BP=2AH﹣PD,∴=2AH﹣1,∴AH=.
綜上所述:點(diǎn)A到BP的距離為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,還需要添加一個(gè)條件是( 。
A. ∠BCA=∠F; B. ∠B=∠E; C. BC∥EF ; D. ∠A=∠EDF
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=12,∠A=60°.點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0).過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,連接DE、EF.
(1)AB的長(zhǎng)是 .
(2)在D、E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,線段EF與AD的關(guān)系是否發(fā)生變化?若不變化,那么線段EF與AD是何關(guān)系,并給予證明;若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應(yīng)的t值;如果不能,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC為直徑作⊙O,交AB于D,過(guò)點(diǎn)O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求證:ED為⊙O的切線;
(2)如果⊙O的半徑為,ED=2,延長(zhǎng)EO交⊙O于F,連接DF、AF,求△ADF的面積.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)
【解析】試題分析:(1)首先連接OD,由OE∥AB,根據(jù)平行線與等腰三角形的性質(zhì),易證得≌ 即可得,則可證得為的切線;
(2)連接CD,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的長(zhǎng),又由OE∥AB,證得根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,即可求得的長(zhǎng),然后利用三角函數(shù)的知識(shí),求得與的長(zhǎng),然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.
試題解析:(1)證明:連接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴ED⊥OD,
∴ED是的切線;
(2)連接CD,交OE于M,
在Rt△ODE中,
∵OD=32,DE=2,
∵OE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴AB=5,
∵AC是直徑,
∵EF∥AB,
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面積為
【題型】解答題
【結(jié)束】
25
【題目】【題目】已知,拋物線y=ax2+ax+b(a≠0)與直線y=2x+m有一個(gè)公共點(diǎn)M(1,0),且a<b.
(1)求b與a的關(guān)系式和拋物線的頂點(diǎn)D坐標(biāo)(用a的代數(shù)式表示);
(2)直線與拋物線的另外一個(gè)交點(diǎn)記為N,求△DMN的面積與a的關(guān)系式;
(3)a=﹣1時(shí),直線y=﹣2x與拋物線在第二象限交于點(diǎn)G,點(diǎn)G、H關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,現(xiàn)將線段GH沿y軸向上平移t個(gè)單位(t>0),若線段GH與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),試求t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC 稱為第 1 個(gè)三角形,它的周長(zhǎng)是 1,以它的三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成第 2 個(gè)三角形,再以第 2 個(gè)三角形的三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成第 3 個(gè)三角形,以此類推,則第 2019 個(gè)三角形的周長(zhǎng)為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是由邊長(zhǎng)為1 的正方體搭成的立體圖形,第(1)個(gè)圖形由1個(gè)正方體搭成,第(2)個(gè)圖形由4個(gè)正方體搭成,第(3)個(gè)圖形由10個(gè)正方體搭成,以此類推,搭成第(6)個(gè)圖形所需要的正方體個(gè)數(shù)是( )
A.84個(gè)B.56個(gè)C.37個(gè)D.36個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)課上測(cè)量學(xué)校旗桿的高度.已知小亮站著測(cè)量,眼睛與地面的距離(AB)是1.7米,看旗桿頂部E的仰角為30°;小敏蹲著測(cè)量,眼睛與地面的距離(CD)是0.7米,看旗桿頂部E的仰角為45°.兩人相距5米且位于旗桿同側(cè)(點(diǎn)B、D、F在同一直線上).
(1)求小敏到旗桿的距離DF.(結(jié)果保留根號(hào))
(2)求旗桿EF的高度.(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):≈1.4,≈1.7)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為鼓勵(lì)學(xué)生參加體育鍛煉,學(xué)校計(jì)劃拿出不超過(guò)3200元的資金購(gòu)買(mǎi)一批籃球和
排球,已知籃球和排球的單價(jià)比為3:2,單價(jià)和為160元.
(1)籃球和排球的單價(jià)分別是多少元?
(2)若要求購(gòu)買(mǎi)的籃球和排球的總數(shù)量是36個(gè),且購(gòu)買(mǎi)的排球數(shù)少于11個(gè),有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)D是拋物線 的頂點(diǎn),拋物線與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).
(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo);
(2)若M為對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn),且DM=2AM,求拋物線表達(dá)式;
(3)當(dāng)30°<∠ADM<45°時(shí),求a的取值范圍.
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