Question

【題目】拋物線 y＝ax2+bx+5 的頂點坐標為（2，9），與 y 軸交于點 A（0，5），與 x 軸交于點 E、B（點 E 在點 B 的左側(cè)），點 P 為拋物線上一點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）過點 A 作 AC 平行于 x 軸，交拋物線于點 C，當點 P 在 AC 上方時，作 PD平行于 y 軸交 AB 于點 D，求使四邊形 APCD 的面積最大時點 P 的坐標；

（3）設(shè) N 為 x 軸上一點，當以 A、E、N、P 為頂點，AE 為一邊的四邊形是平行四邊形時，求點 P 的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；（2）使四邊形 APCD 的面積最大時點 P 的坐標為（）；（3）點 P 的坐標（4，5）或P（2，﹣5）或（2，﹣5）．

【解析】

（1）根據(jù)頂點式設(shè)出拋物線解析式，用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先求出直線AB解析式，設(shè)出點P坐標（x，﹣x2+4x+5），建立函數(shù)關(guān)系式S四邊形APCD＝﹣2x2+10x，根據(jù)二次函數(shù)求出最值；

（3）分兩種情況：

①當P在x軸上方時，以AE為邊時，如圖2，根據(jù)P的縱坐標為5列方程可得P的坐標；

②當P在x軸的下方時，以AE為邊，如圖3，同理可得P的縱坐標為﹣5，列方程可得P的坐標．

（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+9．

∵拋物線與y軸交于點A（0，5），∴4a+9＝5，∴a＝﹣1，y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5，（2）如圖1，當y＝0時，﹣x2+4x+5＝0，∴x1＝﹣1，x2＝5，∴E（﹣1，0），B（5，0），設(shè)直線AB的解析式為y＝mx+n．

∵A（0，5），B（5，0），∴m＝﹣1，n＝5，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+5；

設(shè)P（x，﹣x2+4x+5）．

∵點P在AC上方，∴0＜x＜4，∴D（x，﹣x+5），∴PD＝﹣x2+4x+5+x﹣5＝﹣x2+5x．

∵AC＝4，∴S四邊形APCD＝S△APD+S△PCDPDAHPDAC4（﹣x2+5x）＝﹣2x2+10x＝﹣2（x）2．

∵﹣2＜0，∴當x時，即：使四邊形APCD的面積最大時點P的坐標為（）．

（3）分兩種情況：

①當P在x軸上方時，以AE為邊時，如圖2．

∵N在x軸上，四邊形AENP是平行四邊形，∴AP∥EN．

∵A（0，5），∴P的縱坐標為5，當y＝5時，﹣x2+4x+5＝5，解得：x1＝0，x2＝4，∴P（4，5）；

②當P在x軸的下方時，以AE為邊，如圖3，同理可得P的縱坐標為﹣5，當y＝﹣5時，﹣x2+4x+5＝﹣5，解得：x＝2±，∴P（2，﹣5）或（2，﹣5）．

綜上所述：點P的坐標（4，5）或（2，﹣5）或（2，﹣5）．