Question

（2013•南通一模）已知：如圖，直y=2x+b交x軸于點B，交y軸于點C，點A為x軸正半軸上一點，AO=CO，△ABC的面積為12．
（1）求b的值；
（2）若點P是線段AB中垂線上的點，是否存在這樣的點P，使△PBC成為直角三角形？若存在，試直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，試說明理由；
（3）點Q為線段AB上一個動點（點Q與點A、B不重合），QE∥AC，交BC于點E，以QE為邊，在點B的異側(cè)作正方形QEFG．設(shè)AQ=m，△ABC與正方形QEFG的重疊部分的面積為S，試求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△ABC的面積是12，即可得到一個關(guān)于b的方程，解方程求得b的值；
（2）線段AB中垂線的解析式是y=1，然后分A、B、P是直角頂點三種情況進行討論即可求得；
（3）在Rt△AOC中利用勾股定理求得AC的長度，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理利用m表示出EQ的長度，然后分0＜m≤

24

7

和

24

7

＜m＜6兩種情況求得．

解答：解：（1）由題意得：B（-

b

2

，0），C（0，b）
∴OB=

b

2

，OC=b
∵AO=BO
∴A（b，0）．∴OA=b，AB=b+

b

2

=

3

2

b．
∵S_△ABC=

1

2

AB•OC=12
∴

1

2

×

3

2

b•b=12
解得：b₁=4，b₂=-4（舍去）
∴b=4

（2）AB的中垂線是x=1，
當A是直角△BCP的直角頂點時，設(shè)BP的解析式是：y=-

1

2

x+c，
把B的坐標代入得：1+c=0，解得：c=-1，
則BP的解析式是：y=-

1

2

x-1，當x=1時，y=-

3

2

，
則P的坐標是（1，-

3

2

）；
同理，當C是直角頂點時求得P的坐標是（1，

7

2

）；
當P是直角頂點時，BC=

OB2+OC2

=2

5

，
BC的中點的坐標是（-1，2），
設(shè)P的坐標是（1，x），則（x-2）²+（1+1）²=（

5

）²，
解得：x=1或3，
則P的坐標是（1，1）或（1，3）．
總之，P的坐標是：P₁（1，1），P₂（1，3），P₄（1，

7

2

），P₃（1，-

3

2

）．

（3）如圖，設(shè)正方形QEFG與AC相交于點M．
∵B（-2，0），A（4，0）
∴AB=6
在Rt△AOC中AC=

OA2+OB2

=4

2

∵EQ∥AC
∴

EQ

AC

=

BQ

BA

∴EQ=

BQ•AC

BA

=

4 2 (6-m)

6

=

2 2 (6-m)

3

．
∵EQ∥AC
∴∠AMQ=∠EQM=90°∠MAQ=45°
∴△QMA為等腰直角三角形
∴QM=

2

2

AQ=

2

2

m
當QM=QG時，正方形QEFG的邊FG恰好與AC共線．
此時

2 2 (6-m)

3

=

2

2

m，
解得：m=

24

7

當0＜m≤

24

7

時，S=QE•QM=

2 2 (6-m)

3

•

2

2

m=-

2

3

m²+4m．
當

24

7

＜m＜6時，S=QE²=[

2

3

2

（6-m）】²=

8

9

（m-6）²．
∴S與m之間的函數(shù)關(guān)系式為S=

- 2 3 m2+4m  (0＜m≤ 24 7 ) 8 9 (m-6)2  ( 24 7 ＜m＜6)

．

點評：本題考查了一次函數(shù)與直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的綜合應(yīng)用，正確分類討論是關(guān)鍵．