Question

如圖：AB是⊙O的直徑，點P是AB延長線上一點，PD是⊙O的切線，切點為點D，連接OD，點C是⊙O上一點，且PC=PD．
（1）求證：直線PC是⊙O的切線；
（2）連接BC，CB=BP，PD=，求⊙O的半徑．

Answer 1

解：如右圖所示，
（1）連接OC，
∵OC=OD，PD=PC，OP=OP，
∴△OCP≌△CDP，
∴∠OCP=∠ODP，
又∵DP是切線，
∴∠ODP=90°，
∴∠OCP=90°，
即PC是⊙O切線；

（2）∵PC是切線，
∴∠BCP=∠BOC，∠OCP=90°，
又∵BC=BP，
∴∠BCP=∠BPC，
∴∠CPB=∠COP，
∵∠COP+∠OPC=90°，
∴∠COP=60°，∠CPB=30°，
∵PC=PD=2，
∴OC=tan30°•PC=×2=2．
分析：（1）連接OC，由于OC=OD，PD=PC，OP=OP，利用SSS可證△OCP≌△CDP，那么∠OCP=∠ODP，而DP是切線，易求∠OCP=90°，從而有PC是⊙O切線；
（2）由于PC是切線，那么∠BCP=∠BOC，∠OCP=90°，而BC=BP，易證∠CPB=∠COP，從而可求∠COP=60°，∠CPB=30°，而PC=PD=2，利用特殊三角函數(shù)值可求OC．
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、弦切角定理、特殊三角函數(shù)值．解題的關(guān)鍵是連接OC，構(gòu)造直角三角形，并求出∠COP=60°，∠CPB=30°．