Question

（2013•徐州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）
（1）若△CEF與△ABC相似．
①當(dāng)AC=BC=2時，AD的長為

2

；
②當(dāng)AC=3，BC=4時，AD的長為

1.8或2.5

；
（2）當(dāng)點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）若△CEF與△ABC相似．
①當(dāng)AC=BC=2時，△ABC為等腰直角三角形；
②當(dāng)AC=3，BC=4時，分兩種情況：
（I）若CE：CF=3：4，如答圖2所示，此時EF∥AB，CD為AB邊上的高；
（II）若CF：CE=3：4，如答圖3所示．由相似三角形角之間的關(guān)系，可以推出∠A=∠ECD與∠B=∠FCD，從而得到CD=AD=BD，即D點為AB的中點；
（2）當(dāng)點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，從而可以證明兩個三角形相似．

解答：解：（1）若△CEF與△ABC相似．
①當(dāng)AC=BC=2時，△ABC為等腰直角三角形，如答圖1所示．

此時D為AB邊中點，AD=

2

2

AC=

2

；

②當(dāng)AC=3，BC=4時，有兩種情況：
（I）若CE：CF=3：4，如答圖2所示．

∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥AB．
由折疊性質(zhì)可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此時CD為AB邊上的高．
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴cosA=

3

5

．
AD=AC•cosA=3×

3

5

=1.8；

（II）若CF：CE=3：4，如答圖3所示．

∵△CEF∽△CBA，∴∠CEF=∠B．
由折疊性質(zhì)可知，∠CEF+∠ECD=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，
∴此時AD=

1

2

AB=

1

2

×5=2.5．
綜上所述，當(dāng)AC=3，BC=4時，AD的長為1.8或2.5．

（2）當(dāng)點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似．理由如下：
如答圖3所示，連接CD，與EF交于點Q．
∵CD是Rt△ABC的中線，∴CD=DB=

1

2

AB，∴∠DCB=∠B．
由折疊性質(zhì)可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°，
∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A，
又∵∠C=∠C，∴△CEF∽△CBA．

點評：本題是幾何綜合題，考查了幾何圖形折疊問題和相似三角形的判定與性質(zhì)．第（1）②問需要分兩種情況分別計算，此處容易漏解，需要引起注意．