Question

推理運(yùn)算
已知點(diǎn)P是函數(shù)y=

1

2

x（x＞0）圖象上一點(diǎn)，PA⊥x軸于點(diǎn)A，交函數(shù)y=

1

x

（x＞0）圖象于點(diǎn)M，PB⊥y軸于點(diǎn)B，交函數(shù)y=

1

x

（x＞0）圖象于點(diǎn)N．（點(diǎn)M、N不重合）
（1）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求△PMN的面積；
（2）判斷MN與BA的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；
（3）試問(wèn)：△OMN能否為直角三角形？若能，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用題中已知條件求出M和N的坐標(biāo)，然后求出△PMN的面積；
（2）利用相似三角形，通過(guò)證明PM，PB和PN，PA相對(duì)成比例可證明△PAB∽△PMN．
（3）連接三個(gè)點(diǎn)，分別取三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，求出不同情況下是否滿(mǎn)足題目要求．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P是函數(shù)y=

1

2

x（x＞0）圖象上一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，
∴點(diǎn)P為（2，1），
由題意可得：M為（2，

1

2

），N為（1，1）
∴S_△PMN=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

；

（2）令點(diǎn)P為（2a，a），（a＞0）
則A（2a，0），B（0，a），M（2a，

1

2a

），N（

1

a

，a），
∴

PA

PB

=

a

2a

=

1

2

，

PM

PN

=

a- 1 2a

2a- 1 a

=

1

2

，
即

PA

PB

=

PM

PN

∴MN∥AB；

（3）由（2）得，ON2=a2+

1

a2

，OM2=4a2+

1

4a2

，
易知∠MON≠90°，
∴當(dāng)∠ONM=90°時(shí)，
有4a2+

1

4a2

=a2+

1

a2

+5a2-5+

5

4a2

，
解得a1=

2

，a2=

2

2

（舍去），即點(diǎn)P為（2

2

，

2

），
同理當(dāng)∠OMN=90°時(shí)，點(diǎn)P為（

2

2

，

2

4

）．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P為（2

2

，

2

）或（

2

2

，

2

4

）時(shí)，能使△OMN為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形性質(zhì)以及用分類(lèi)討論解題的思路，此題難度較大．