應(yīng)用規(guī)律，解決問題
（1）．定義：a為不等于1的有理數(shù)，我們把
1
1-a
稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是
1
1-2
=
1
-1
=-1，-1的差倒數(shù)是
1
1-(-1)
=
1
2
，已知a1=-
1
3
，
①a2是a1的差倒數(shù)，則a2=
3
4
3
4
．
②a3是a2的差倒數(shù)，則a3=
4
4
．
③a4是a3的差倒數(shù)，則a4=
-
1
3
-
1
3
．
④以此類推，a2011=
-
1
3
-
1
3
．
（2）．我們知道：
1
2
×
2
3
=
1
3
，
1
2
×
2
3
×
3
4
=
1
4
，…，
1
2
×
2
3
×
3
4
×…×
n
n+1
=
1
n+1
，試根據(jù)上面規(guī)律，
計(jì)算：(
1
19
-1)(
1
20
-1)(
1
21
-1)…(
1
2011
-1)．
分析：（1）理解差倒數(shù)的概念，要根據(jù)定義去做．通過計(jì)算，尋找差倒數(shù)出現(xiàn)的規(guī)律，依據(jù)規(guī)律解答即可．
（2）利用
1
2
×
2
3
=
1
3
，
1
2
×
2
3
×
3
4
=
1
4
，…，
1
2
×
2
3
×
3
4
×…×
n
n+1
=
1
n+1
規(guī)律得出答案即可．
解答：解：（1）根據(jù)差倒數(shù)定義可得：①a2=
1
1-a1
=
1
1+
1
3
=
3
4
，
②a3=
1
1-a2
=
1
1-
3
4
=4，
③a4=
1
1-a3
=
1
1-4
=-
1
3
．
④顯然每三個(gè)循環(huán)一次，又2011÷3=670余1，故a2011和a1的值相等，
∴a2011=-
1
3
，
（2）(
1
19
-1)(
1
20
-1)(
1
21
-1)…(
1
2011
-1)．
=-
18
19
×（-
19
20
）×（-
20
21
）…（-
2010
2011
），
=-
18
2011
．
故答案為：①
3
4
，4，③-
1
3
，④
3
4
，
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了數(shù)字規(guī)律，此類題型要嚴(yán)格根據(jù)定義做，這也是近幾年出現(xiàn)的新類型題之一，同時(shí)注意分析循環(huán)的規(guī)律．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)【老題重現(xiàn)】
求證：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離和等于一腰上的高．
已知：△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，CD是AB邊上的高線．
求證：PE+PF=CD
證明：連接AP，
∵S△ABP+S△ACP=S△ABC
∴
AB×PE
2
+
AC×PF
2
=
AB×CD
2

∵AB=AC
∴PE+PF=CD

【變式應(yīng)用】
請(qǐng)利用“類比”和“化歸”兩種方法解答下面問題：
求證：等邊三角形內(nèi)上任意一點(diǎn)到三邊的距離和等于一邊上的高．
已知：點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AH是BC邊上的高線．精英家教網(wǎng)
求證：PD+PE+PF=AH
證明：
方法（一）類比：通過類比上題的思路和方法，模仿上題的“面積法”解決本題．
連接AP，BP，CP
方法（二）化歸：如圖，通過MN在等邊△ABC中構(gòu)造符合“老題”規(guī)律的等邊△AMN，化“新題”為“老題”，直接利用“老題重現(xiàn)”的結(jié)論解決問題．
過點(diǎn)P作MN∥BC，交AB于M，交AC于N，交AH于G．

【提煉運(yùn)用】
已知：點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)到三邊的距離分別為a、b、c，且使得以a、b、c為邊能夠構(gòu)成三角形．
請(qǐng)?jiān)趫D中畫出滿足條件的點(diǎn)P一切可能的位置，并對(duì)這些位置加以說明．
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

①如圖（1），直線l上有2個(gè)點(diǎn)，有1條線段；
②如圖（2），直線l上有3個(gè)點(diǎn)，有
3
3
條線段；
③如圖（3），請(qǐng)你畫出直線l上4個(gè)點(diǎn)，數(shù)一數(shù)有
6
6
條線段；
④如圖（4），直線上有n（n為大于1的正整數(shù)）個(gè)點(diǎn)，則圖中有
n(n-1)
2
n(n-1)
2
條線段；
⑤應(yīng)用④中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：某校初一年級(jí)共有6個(gè)班進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行循環(huán)賽（即每?jī)申?duì)之間賽一場(chǎng)），則全部賽完共需
15
15
場(chǎng)比賽．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

應(yīng)用規(guī)律，解決問題
（1）．定義：a為不等于1的有理數(shù)，我們把數(shù)學(xué)公式稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是數(shù)學(xué)公式，-1的差倒數(shù)是數(shù)學(xué)公式，已知數(shù)學(xué)公式，
①a2是a1的差倒數(shù)，則a2=______．
②a3是a2的差倒數(shù)，則a3=______．
③a4是a3的差倒數(shù)，則a4=______．
④以此類推，a2011=______．
（2）．我們知道：數(shù)學(xué)公式，…，數(shù)學(xué)公式…×數(shù)學(xué)公式，試根據(jù)上面規(guī)律，
計(jì)算：數(shù)學(xué)公式…數(shù)學(xué)公式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：河北省期中題 題型：探究題

應(yīng)用規(guī)律，解決問題
（1）定義：a為不等于1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是，﹣1的差倒數(shù)是，已知，
①a2是a1的差倒數(shù)，則a2=_________．
②a3是a2的差倒數(shù)，則a3=_________．
③a4是a3的差倒數(shù)，則a4=_________．
④以此類推，a2011=_________．
（2）我們知道：，…，…×，試根據(jù)上面規(guī)律，計(jì)算：…．

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