Question

【題目】 如圖，一次函數(shù)y=0.5x+3的圖象與反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象交于A（-5，a），B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)C，且AD=BC．

（1）求此反比例函數(shù)的表達(dá)式和B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）連接AO和BO，若點(diǎn)P在x軸上，且S△BDP=S△BOA，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，作ABFE，點(diǎn)F和點(diǎn)E分別在y軸和x軸上，求證：∠AED=∠FEO．

Answer 1

【答案】（1）y=-，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，2.5）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-13.2，0）或（1.2，0）；（3）詳見解析

【解析】

（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出k值，進(jìn)而可得出反比例函數(shù)的表達(dá)式，再聯(lián)立一次函數(shù)及反比例函數(shù)的表達(dá)式成方程組，通過解方程組即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式結(jié)合S△BDP=S△BOA，即可求出DP的長(zhǎng)度，再結(jié)合點(diǎn)D的坐標(biāo)即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，n），利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出AD=AE，進(jìn)而可得出∠ADE=∠AED，由四邊形ABFE為平行四邊形可得出AB∥EF，利用平行線的性質(zhì)可得出∠ADE=∠FEO，再結(jié)合∠ADE=∠AED即可證出∠AED=∠FEO．

解：（1）∵一次函數(shù)y=0.5x+3的圖象過點(diǎn)A（-5，a），

∴a=0.5×（-5）+3=0.5，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-5，0.5）．

∵反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象過點(diǎn)A（-5，0.5），

∴k=-5×0.5=-2.5，

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-．

聯(lián)立一次函數(shù)及反比例函數(shù)的表達(dá)式成方程組，得：，

解得：，，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，2.5）．

（2）當(dāng)y=0時(shí)，0.5x+3=0，

解得：x=-6，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-6，0）．

∵S△BDP=S△BOA，

∴DP2.5=×（×6×2.5-×6×0.5），

∴DP=7.2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-13.2，0）或（1.2，0）．

（3）證明：設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，n）．

∵四邊形ABFE為平行四邊形，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-5，0.5），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，2.5），

∴，解得：，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，2）．

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-6，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-5，0.5），

∴AD==，AE==，

∴AD=AE，

∴∠ADE=∠AED．

∵四邊形ABFE為平行四邊形，

∴AB∥EF，

∴∠ADE=∠FEO，

∴∠AED=∠FEO．