Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與直線y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）兩點，且拋物線經過點C（5，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是拋物線上的一個動點（不與點A、點B重合），過點P作直線PD⊥x軸于點D，交直線AB于點E．
①當PE=2ED時，求P點坐標；
②是否存在點P使△BEC為等腰三角形？若存在請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點B（4，m）在直線y=x+1上，

∴m=4+1=5，

∴B（4，5），

把A、B、C三點坐標代入拋物線解析式可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5

（2）

解：①設P（x，﹣x2+4x+5），則E（x，x+1），D（x，0），

則PE=|﹣x2+4x+5﹣（x+1）|=|﹣x2+3x+4|，DE=|x+1|，

∵PE=2ED，

∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|，

當﹣x2+3x+4=2（x+1）時，解得x=﹣1或x=2，但當x=﹣1時，P與A重合不合題意，舍去，

∴P（2，9）；

當﹣x2+3x+4=﹣2（x+1）時，解得x=﹣1或x=6，但當x=﹣1時，P與A重合不合題意，舍去，

∴P（6，﹣7）；

綜上可知P點坐標為（2，9）或（6，﹣7）；

②設P（x，﹣x2+4x+5），則E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），

∴BE= = |x﹣4|，CE= = ，BC= = ，

當△BEC為等腰三角形時，則有BE=CE、BE=BC或CE=BC三種情況，

當BE=CE時，則 |x﹣4|= ，解得x= ，此時P點坐標為（ ， ）；

當BE=BC時，則 |x﹣4|= ，解得x=4+ 或x=4﹣ ，此時P點坐標為（4+ ，﹣4 ﹣8）或（4﹣ ，4 ﹣8）；

當CE=BC時，則 = ，解得x=0或x=4，當x=4時E點與B點重合，不合題意，舍去，此時P點坐標為（0，5）；

綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（ ， ）或（4+ ，﹣4 ﹣8）或（4﹣ ，4 ﹣8）或（0，5）

【解析】（1）由直線解析式可求得B點坐標，由A、B、C三點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；（2）①可設出P點坐標，則可表示出E、D的坐標，從而可表示出PE和ED的長，由條件可知到關于P點坐標的方程，則可求得P點坐標；②由E、B、C三點坐標可表示出BE、CE和BC的長，由等腰三角形的性質可得到關于E點坐標的方程，可求得E點坐標，則可求得P點坐標．