Question

如圖，菱形紙片ABCD中，∠A=60°，將紙片折疊，點(diǎn)A、D分別落在A′、D′處，且A′D′經(jīng)過(guò)B，EF為折痕，當(dāng)D′F⊥CD時(shí)，

CF

FD

的值為

3 -1

2

．

Answer 1

分析：首先延長(zhǎng)DC與A′D′，交于點(diǎn)M，由四邊形ABCD是菱形與折疊的性質(zhì)，易求得△BCM是等腰三角形，△D′FM是含30°角的直角三角形，然后設(shè)CF=x，D′F=DF=y，利用正切函數(shù)的知識(shí)，即可求得答案．

解答：解：延長(zhǎng)DC與A′D′，交于點(diǎn)M，
∵在菱形紙片ABCD中，∠A=60°，
∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD，
∴∠D=180°-∠A=120°，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得∠A′D′F=∠D=120°，
∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°，
∵D′F⊥CD，
∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°，
∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，
∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°，
∴∠CBM=∠M，
∴BC=CM，
設(shè)CF=x，D′F=DF=y，
則BC=CM=CD=CF+DF=x+y，
∴FM=CM+CF=2x+y，
在Rt△D′FM中，tan∠M=tan30°=

D′F

FM

=

y

2x+y

=

3

3

，
∴x=

3 -1

2

y，
∴

CF

FD

=

x

y

=

3 -1

2

．
故答案為：

3 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意折疊中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．