Question

已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，⊙O經(jīng)過B，C，D三點(diǎn)，與AB交于另一點(diǎn)E．
（1）請(qǐng)你仔細(xì)觀察圖形，連接圖中已表明字母的某兩點(diǎn)，得到一條新線段，證明它與線段AE相等；
（2）在圖中，過點(diǎn)E作⊙O的切線，交AD于點(diǎn)F；
①求證：EF²=FD•FC；
②若AF=DF，求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）本題可利用點(diǎn)D是AC中點(diǎn)的條件進(jìn)行求解；連接CE、DE；由∠ABC=90°知：CE必為⊙O的直徑；則DE⊥AC，又D是AC的中點(diǎn)，因此DE垂直平分AC，因此CE和AE相等．
（2）欲證EF²=FD•FC，即證

EF

FD

=

FC

EF

，則證明△CEF∽△EDF即可．
（3）由（1）知：∠A=∠ACE，因此只需在RT△CEF中求出sin∠ACE的值即可．

解答：解：（1）連接CE；
證明：連接DE；
∵∠ABC=90°，
∴CE是⊙O的直徑；
∴∠CDE=90°；
又∵AD=CD，
∴AE=CE．
（還可以連接OD，利用中位線定理證AE等于⊙O的直徑，或連接BD，利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”證AD=BD，∠A=∠DBA，∠DBA=∠ACE）

（2）①證明：∵EF是⊙O的切線，
∴EF⊥EC；
∴△CEF∽△EDF；
∴

EF

FD

=

FC

EF

，即EF²=FD•FC．

②∵AF=DF，AD=CD，
∴FD=

1

3

FC，∴EF²=

1

3

FC²；
∴

EF

FC

=

3

3

，
∴sin∠ACE=

3

3

；
又∵EA=EC，
∴∠ACE=∠A；
∴sin∠A=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．