Question

如圖所示，菱形ABCD的頂點(diǎn)A、B在x軸上，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)D在y軸的正半軸上，∠BAD=60°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）．
（1）求線段AD所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，按照A?D?C?B?A的順序在菱形的邊上勻速運(yùn)動(dòng)一周，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒、求t為何值時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、以1為半徑的圓與對(duì)角線AC相切．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOD中，根據(jù)OA的長(zhǎng)以及∠BAD的正切值，即可求得OD的長(zhǎng)，從而得到D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法可求得直線AD的解析式．
（2）由于點(diǎn)P沿菱形的四邊勻速運(yùn)動(dòng)一周，那么本題要分作四種情況考慮：
在Rt△OAD中，易求得AD的長(zhǎng)，也就得到了菱形的邊長(zhǎng)，而菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，那么∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA=30°；
①當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，若⊙P與AC相切，由于∠PAC=30°，那么AP=2R（R為⊙P的半徑），由此可求得AP的長(zhǎng)，即可得到t的值；
②③④的解題思路與①完全相同，只不過在求t值時(shí)，方法略有不同．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），∠BAD=60°，∠AOD=90°，
∴OD=OA•tan60°=2

3

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2

3

），（1分）
設(shè)直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，

-2k+b=0 b=2 3

，
解得

k= 3 b=2 3

．
∴直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y=

3

x+2

3

．（3分）

（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠DCB=∠BAD=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
AD=DC=CB=BA=4，（5分）
如圖所示：
①點(diǎn)P在AD上與AC相切時(shí)，
連接P₁E，則P₁E⊥AC，P₁E=r，
∵∠1=30°，
∴AP₁=2r=2，
∴t₁=2．（6分）
②點(diǎn)P在DC上與AC相切時(shí)，
CP₂=2r=2，
∴AD+DP₂=6，
∴t₂=6．（7分）
③點(diǎn)P在BC上與AC相切時(shí)，
CP₃=2r=2，
∴AD+DC+CP₃=10，
∴t₃=10．（8分）
④點(diǎn)P在AB上與AC相切時(shí)，
AP₄=2r=2，
∴AD+DC+CB+BP₄=14，
∴t₄=14，
∴當(dāng)t=2、6、10、14時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、以1為半徑的圓與對(duì)角線AC相切．（9分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)解析式的確定、解直角三角形、菱形的性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)等；需要注意的是（2）題中，點(diǎn)P是在菱形的四條邊上運(yùn)動(dòng)，因此要將所有的情況都考慮到，以免漏解．