(2011•黔東南州)順次連接一矩形場地ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)E、F、G、H,得到四邊形EFGH,M為邊EH的中點(diǎn),點(diǎn)P為小明在對角線EG上走動(dòng)的位置,若AB=10米,BC=10
3
米,當(dāng)PM+PH的和為最小值時(shí),EP的長為
10
3
3
m
10
3
3
m
分析:由點(diǎn)E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),得到FH與EG互相垂直平分,則四邊形EFGH為菱形,H點(diǎn)與F點(diǎn)關(guān)于EG對稱,連HF交EG于O點(diǎn),連FM交EG于P′、連HP′,則P′H=P′F,即P′H+P′M=FM,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P′的位置時(shí),PM+PH的和為最小值.由AB=10,BC=10
3
得AE=5,AH=5
3
,根據(jù)勾股定理計(jì)算出EH=10,則EM=5,∠AHE=30°,∠EHF=60°,得到△EHF為等邊三角形,于是有FM⊥EH,根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到MP′=
3
3
EM=
5
3
3
,EP′=2MP′=
10
3
3
,由此得到答案.
解答:解:∵點(diǎn)E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),
∴FH與EG互相垂直平分,
∴四邊形EFGH為菱形,H點(diǎn)與F點(diǎn)關(guān)于EG對稱,
連HF交EG于O點(diǎn),連FM交EG于P′、連HP′,如圖
則P′H=P′F,即P′H+P′M=FM,
∴當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P′的位置時(shí),PM+PH的和為最小值.
∵AB=10,BC=10
3

∴AE=5,AH=5
3

∴EH=
(5
3
)
2
+52
=10,
∴∠AHE=30°,
∴∠EHF=60°,
∴△EHF為等邊三角形,
而M為EH的中點(diǎn),
∴FM⊥EH,EM=5,
在Rt△EMP′中,∠MEP′=30°,
∴MP′=
3
3
EM=
5
3
3

∴EP′=2MP′=
10
3
3
,
∴當(dāng)PM+PH的和為最小值時(shí),EP的長為
10
3
3
m.
故答案為
10
3
3
m.
點(diǎn)評:本題考查了軸對稱-最短路線問題:通過對稱,把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段,利用兩點(diǎn)之間線段最短解決.也考查了含30°的直角三角形三邊的關(guān)系、菱形得性質(zhì)與判定以及矩形的性質(zhì).
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2
3
2
3

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k
x
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y=
3
x
y=
3
x

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