Question

如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線(xiàn)，其切點(diǎn)分別為A、B，PO交AB于點(diǎn)D，PO的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)C，根據(jù)圖形給出下面四個(gè)結(jié)論：①∠PAB=∠PCA；②PA²=PD•PC；③∠PAB=∠PBA；④∠AOD=2∠ACO．
其中錯(cuò)誤的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：由PA與PB為圓O的兩條切線(xiàn)，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到PA=PB，利用等邊對(duì)等角得到∠PAB=∠PBA，選項(xiàng)③正確；連接BC，利用弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角得到得到∠PAB=∠ACB，故∠PAB不等于∠PCA，選項(xiàng)①錯(cuò)誤；由PA為圓O的切線(xiàn)，PC為圓O的割線(xiàn)，利用切割線(xiàn)定理得到關(guān)系式，即可對(duì)②作出判斷；由同弧所對(duì)的圓心角等于所對(duì)圓周角的2倍，得到∠AOD=2∠ACO，選項(xiàng)④正確，即可得出錯(cuò)誤選項(xiàng)的個(gè)數(shù)．
解答：解：∵PA、PB是⊙O的兩條切線(xiàn)，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，故選項(xiàng)③正確；
連接BC，AE，可得出∠PAB=∠ACB，
∴∠PAB≠∠PCA，故選項(xiàng)①錯(cuò)誤；
∵PA為⊙O的切線(xiàn)，PC為⊙O的割線(xiàn)，
∴∠PAE=∠PCA，
又∵∠APE=∠CPA，
∴△APE∽△CPA，
∴=，即PA²=PE•PC，故選項(xiàng)②錯(cuò)誤；
∵∠AOD與∠ACO都對(duì)，
∴∠AOD=2∠ACO，故選項(xiàng)④正確．
則錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)有2個(gè)．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，切割線(xiàn)定理，等邊對(duì)等角，圓周角定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．