Question

【題目】如圖，點(diǎn) E 是△ABC 的內(nèi)心，AE 的延長(zhǎng)線和△ABC 的外接圓相交于點(diǎn) D，連 接 BE

(1) 若∠CBD＝35°，求∠BAC 及∠BEC 的度數(shù)

(2) 求證：DE＝DB

Answer 1

【答案】(1) 125°；(2)見詳解.

【解析】

(1)根據(jù)三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn)，得到∠BAC=2∠CAD，∠ABC=2∠EBC，∠ACB=∠ECB，再用三角形內(nèi)角和求出∠BEC；

(2)由三角形的內(nèi)心E得到∠BAD=∠CAD，∠EBA=∠EBC，經(jīng)過等量代換得∠DEB=∠DBE，所以DE=DB．

(1)在外接圓中，∵∠CBD=35°，

∵∠CAD=35°，

∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，

∴∠BAC=2∠CAD =70°，

∴∠EBC+∠ECB=（180°-70°）÷2=55°，

∴∠BEC=180°-55°=125°．

(2) 證明：∵E是△ABC的內(nèi)心，

∴∠BAD=∠CAD，∠EBA=∠EBC，

∵∠DEB=∠BAD +∠EBA，∠DBE=∠EBC +∠CBD，∠CBD =∠CAD，

∴∠DEB=∠DBE，

∴DE=DB．