Question

【題目】如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”．

（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)畫(huà)一個(gè)“好玩三角形”；
（2）如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，求證：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∠ABC=2β，點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，以相同速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程為s．
①當(dāng)β=45°時(shí)，若△APQ是“好玩三角形”，試求 的值；
②當(dāng)tanβ的取值在什么范圍內(nèi)，點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”．請(qǐng)直接寫(xiě)出tanβ的取值范圍．
（4）（本小題為選做題）
依據(jù)（3）的條件，提出一個(gè)關(guān)于“在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，tanβ的取值范圍與△APQ是‘好玩三角形’的個(gè)數(shù)關(guān)系”的真命題（“好玩三角形”的個(gè)數(shù)限定不能為1）

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，①作一條線段AB，

②作線段AB的中點(diǎn)O，

③以點(diǎn)O為圓心，AB為半徑畫(huà)圓，

④在圓O上取一點(diǎn)C，連接AC、BC，

∴△ABC是所求作的三角形（點(diǎn)E、F除外）

（2）

解：如圖2，取AC的中點(diǎn)D，連接BD

∵∠C=90°，tanA= ，

∴

∴設(shè)BC= x，則AC=2x，

∵D是AC的中點(diǎn)，

∴CD= AC=x

∴BD= = =2x，

∴AC=BD

∴△ABC是“好玩三角形”

（3）

解：①如圖3，當(dāng)β=45°，點(diǎn)P在AB上時(shí)，

∴∠ABC=2β=90°，

∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，

當(dāng)P在BC上時(shí)，連接AC交PQ于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AB交QP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

∵PC=CQ，

∴∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，

∴△AEF∽△CEP，

∴ ．

∵PE=CE，

∴ ．

(i)當(dāng)?shù)走匬Q與它的中線AE相等時(shí)，即AE=PQ時(shí)，

=2，

∴ ，

(ii)當(dāng)腰AP與它的中線QM相等，即AP=QM時(shí)，

作QN⊥AP于N，如圖4

∴MN=AN= MP．

∴QN= MN，

∴tan∠APQ= ，

∴tan∠APE= = ，

∴ =

②由①可知，當(dāng)AE=PQ和AP=QM時(shí)，有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”，

∴ ＜tanβ＜2時(shí)，有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”

（4）

解：由（3）可以知道0＜tanβ＜ ，

則在P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使得△APQ成為“好玩三角形”的個(gè)數(shù)為2

【解析】（1）先畫(huà)一條線段AB，再確定AB的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，AB為半徑畫(huà)圓，在圓O上取一點(diǎn)C，連接AC、BC，則△ABC是所求作的三角形；
（2）取AC的中點(diǎn)D，連接BD，設(shè)BC= x，根據(jù)條件可以求出AC=2x，由三角函數(shù)可以求出BD=2x，從而得出AC=BD，從而得出結(jié)論；
（3）①當(dāng)β=45°時(shí)，分情況討論，P點(diǎn)在AB上時(shí)，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，當(dāng)P在BC上時(shí)，延長(zhǎng)AB交QP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，可以求出分情況討論，就可以求出 ，再分情況討論就可以求出當(dāng)AE=PQ時(shí)， 的值，當(dāng)AP=QM時(shí)，可以求出 的值；②根據(jù)①求出的兩個(gè) 的值就可以求出tanβ的取值范圍；
（4）由（3）可以得出0＜tanβ＜ ，△APQ為“好玩三角形”的個(gè)數(shù)為2就是真命題．