Question

在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)P，邊BC上取一點(diǎn)Q，邊CD上取一點(diǎn)M，邊AD上取一點(diǎn)N，如果AP+AN+CQ+CM=2，求證：PM⊥QN．

Answer 1

【答案】分析：直接證明PM⊥QN有困難，可設(shè)想將QN旋轉(zhuǎn)90°成一新的直線(xiàn)Q₁N₁，只需證明PM∥Q₁N₁即可．
解答：證明：如圖所示，將正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
則正方形ABCD變到正方形ADC₁D₁的位置，
其中A不變，B變到D，Q變到Q₁，C變到C₁，N變到N₁，直線(xiàn)QN變到Q₁N₁．
因此QN⊥Q₁N₁，
因?yàn)锳N=AN₁，CQ=C₁Q₁，
所以PN₁=AP+AN₁=AP+AN=2-（CM+CQ）=CC₁-（CM+C₁Q₁）=MQ₁．
又PN₁∥MQ₁，
所以四邊形PMQ₁N₁是平行四邊形．
故PM∥Q₁N₁．
因此PM⊥QN．
點(diǎn)評(píng)：中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：
（1）關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，而且被對(duì)稱(chēng)中心所平分．
（2）關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等圖形．
中心對(duì)稱(chēng)的思想方法：
利用中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可以解決線(xiàn)段的相等問(wèn)題、中點(diǎn)及角的相等問(wèn)題以及轉(zhuǎn)化圖形來(lái)解決某些較困難的題型．