Question

●探究  在圖1中，已知線段AB，CD，其中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．
①若A （-1，0），B （3，0），則E點(diǎn)坐標(biāo)為

（1，0）

；
②若C （-2，2），D （-2，-1），則F點(diǎn)坐標(biāo)為

（-2，

1

2

）

；
●歸納  在圖2中，無(wú)論線段AB處于坐標(biāo)系中的哪個(gè)位置，當(dāng)其端點(diǎn)坐標(biāo)為A（a，b），B（c，d），AB中點(diǎn)為D（x，y） 時(shí)，則D點(diǎn)坐標(biāo)為

（

a+c

2

，

b+d

2

）

．（用含a，b，c，d的代數(shù)式表示）
●運(yùn)用  在圖3中，一次函數(shù)y=x-2與反比例函數(shù)y=

3

x

的圖象交點(diǎn)為A，B．
①求出交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
②若以A，O，B，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)利用上面的結(jié)論求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：探究①②正確作出兩線段的中點(diǎn)，即可寫(xiě)出中點(diǎn)的坐標(biāo)；
歸納：過(guò)點(diǎn)A，D，B三點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為A'，D'，B'，則AA'∥BB'∥CC'，根據(jù)梯形中位線定理即可得證；
運(yùn)用：①解兩函數(shù)解析式組成的方程組即可解得兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
②根據(jù)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)上面的結(jié)論可以求得AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)，此點(diǎn)也是OP的中點(diǎn)，根據(jù)前邊的結(jié)論即可求解．

解答：解：探究   ①根據(jù)A （-1，0），B （3，0），線段AB中點(diǎn)為E，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，0）；
②根據(jù)C （-2，2），D （-2，-1），線段CD中點(diǎn)為F，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為：（-2，

1

2

）；
歸納：過(guò)點(diǎn)A，D，B三點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為A'，D'，B'，
則AA'∥BB'∥DD'．
∵D為AB中點(diǎn)，由平行線分線段成比例定理得A'D'=D'B'．
∴OD'=a+

c-a

2

=

a+c

2

即D點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

a+c

2

．
同理可得D點(diǎn)的縱坐標(biāo)是

b+d

2

．
∴AB中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

a+c

2

，

b+d

2

）．
故答案為：

a+c

2

，

b+d

2

．
運(yùn)用：①由題意得

y=x-2 y= 3 x

解得

x=3 y=1

或

x=-1 y=-3

∴即交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-1，-3），B（3，1）．
②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，由上面的結(jié)論知AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-1）．
∵平行四邊形對(duì)角線互相平分，
∴OM=MP，即M為OP的中點(diǎn)．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2）．（1分）
當(dāng)OB為對(duì)角線時(shí)，PB=AO，PB∥AO，
同理可得：點(diǎn)P坐標(biāo)分別為（4，4），
當(dāng)OA為對(duì)角線時(shí)，PA=BO，PA∥BO，
可得：點(diǎn)P坐標(biāo)分別為（-4，-4）．
∴滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)，
坐標(biāo)分別是（2，-2），（4，4），（-4，-4）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要探索了：兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的中點(diǎn)，縱坐標(biāo)是縱坐標(biāo)的中點(diǎn)．